10 m mély kútból, méterenként 1 kg tömegű, lánccal vizet húzunk fel. A vödör tömege vízzel együtt 12kg. Mekkora munka árán tudunk egy vödör vizet felhúzni?

A helyzeti energiát kell befektetni munkaként. A vödörnek a helyzeti energiája 12kg*10m/s^2 * 10m

A lánc súlya összesen 10 kg. A lánc tömegközéppontja 5 méter mélyen van, ezért a lánc helyzeti energiája 10 kg * 10m/s^2 * 5m.

Összesen 1700J munka szükséges.

Az a baj, hogy a lánc felhúzása közben a tömege egyre csökken, vagyis a tömegközéppont nagyságát nem vehetjük állandónak, hanem a felhúzás mértékének a fgv-e.

pl ha k-val jelölöm a lánc hosszegységére jutó tömegét akkor:

Δm = k·Δx ahol x a felhúzott vödör magassága, egyben a felhúzott lánc hossza.

a pillanatnyi tömege pedig

m(t) = m(0) - k·Δx

a tömegközéppont magassága: H = x + (h-x)/2 = (h+x)/2

erre kéne felírni a pillanatnyi energiaállapotokat, munkát pl:

dW = dm(t)·g·(h+dx)/2

dW = (m(0) - k·dx)·g·(h+dx)/2

de hogy ezt, hogy kéne kiintegrálni azt nem tudom, vagy hogy hogyan lehetne úgy felírni, hogy kilehessen integrálni ):

#2: " A tömegközéppont nagyságát nem vehetjük állandóank" A lánc tömege nem változik, csak a még húzandó részének a tömege, avagy a tömegközéppont helye. De ez a gondolatmenetemet nem zavarja, mivel energiákkal számoltam és nem erőkkel.

A gravitációs erőtér konzervatív, azaz nem függ a befektetett energia attól, hogy milyen úton juttatok el valamit valahova, csak a kezdő és végállapot számít. A kettő közötti energiakülönbséget fektettük be munkaként. A kezdeti állapotban van egy lánc, amely 10 kg és tömegközéppontja 5 m mélyen van. A végállapotban van egy lánc, ami 10 kg éstömegközéppontja 0 m mélyen van. A kettő között a helyzeti energia különbsége 10*5*g, tehát pontosan ennyi munkába kerül a láncot felhúzni.

De megcsinálhatjuk a feladatot úgy is, ahogy te szeretnéd:

Legyen a lánc méterenlénti tömege 1 kg, ahogy a feladat is írja. A húzás alatt álló lánc tömege: 10 - x*1, ahol 10 [kg] a kezdeti tömeg, x [m] az eddig felhúzott lánc hossza, 1 pedig az 1kg / m tényező.

A lánc húzásához szükséges erő ( a vödört most hagyjuk) (10-x) * g.

A teljes munka az erő és a távolság integrálja:

int (10-x) * g dx = g * (10x-x^2 / 2). behelyettesítve az intergálási határokat: g * (10 * 10 - 10*10 / 2) = 5 * 10 * g.

(Ha esetleg a kérdező nem lenne járatos az integrálásban, egy kis magyarázat, hogy mi történt: ha az erőt felírod az út függvényében, akkor lineárisan csökkenő függvényt kapsz. A függvény alatti terület az elvégzett munka, amely a grafikon szerint egy derékszügű háromszög területe, amelynek magassága 10*g[N], szélessége 10[m]. Az elvégzet munka tehát 10*g*10 / 2 = 10*5*g [J].

Varázslatos módon pont annyi, mint amennyi kijött az első gondolatmenetből is.