Az ABC háromszögben AB=3cm, AC=5cm, BC=6cm. Számítsd ki az AD magasság hosszát és az ABC háromszög területét! Valaki segítene?

Felírod a B csúcsnál fekvő ß szögre a koszinusztételt:

5^2=3^2+6^2-2*3*6*cos(ß), innen egyenletrendezés után kapod, hogy

5/9=cos(ß)

Ha nagyon profi vagy, akkor nem számolod ki a ß szöget, hanem a következőképpen jársz el; négyzetre emeljük mindkét oldalt:

25/81=cos^2(ß)

Ismerjük azt az összefüggést, hogy sin^2(ß)+cos^2(ß)=1, ebből azt kapjuk, hogy cos^2(ß)=1-sin^2(ß), ezt beírjuk a jobb oldalra:

25/81=1-sin^2(ß), egyenletrendezünk:

sin^2(ß)=56/81, majd gyököt vonunk:

sin(ß)=gyök(56)/9, vagy másként: 2*gyök(14)/9.

Ugyan gyököt vontunk, és akkor bejönne a +-, de két okból mégsem kell foglalkoznunk a negatív megoldással;

1. Tudjuk, hogy egy háromszögön belül szöghöz nagyobb szemközti oldal tartozik, mi most a középső oldal szemközti szögét neveztük el bétának, az pedig emiatt nem lehet sem tompa-, sem derékszög, emiatt csak hegyesszög lehet, annak pedig tudjuk, hogy szinusza mindig pozitív.

2. Ha már kiterjesztettétek hegyesszögnél nagyobb szögekre is a trigonometrikus függvényeket, akkor megtanultátok, hogy 0-180° között a szög szinusza pozitív vagy 0, tehát nem kell foglalkoznunk a negatív megoldással.

Most ki fogjuk számolni az AD magasságot; ha ezt behúzzuk, akkor kapunk egy olyan derékszögű háromszöget, melynek egyik befogója az AD szakasz hossza, tehát |AD|, átfogója az AB szakasz, ami 3 cm hosszú. Írjuk fel a ß szög szinuszát:

sin(ß)=|AD|/3, vagyis 3*sin(ß)=|AD|. Mennyi is volt sin(ß) nagysága? Azt számoltuk ki az előbb; 2*gyök(14)/9, Tehát |AD|=3*2*gyök(14)/9=2*gyök(14)/3 cm hosszú az AD magasság.

Innen a területet kétféleképpen is meghatározhatjuk, értelemszerűen ugyanazt az eredményt fogjuk kapni: 3*6*(2*gyök(14)/3)/2=6*gyök(14) cm^3 a területe.

Ha valami nem érthető, kérdezz bátran!

Kedves kérdező Kata!

Ha igazán profi módon szeretnél eljárni, akkor először a Heron képlettel kiszámolod a háromszög területét, majd a terület kétszeresét elosztod a kiválasztott oldallal megkapod a hozzá tartozó magasságot.

A terület

T = gyök[s(s - a)(s - b)(s - c)]

ahol

s - a háromszög fél kerülete (a + b + c)/2

A 'b' oldalhoz tartozó magasság

m(b) = 2T/b

Ennyi!

1.) Ha az első válaszoló a sin²ß + cos²ß = 1 összefüggés ismeretét a profizmus szintjére emelte, akkor a Heron képlet ennél sokkal profibb, mert azonnal a feladat egyik megoldását adja.

2.) Eszembe jut az egyik előadóm mondása: Aki tíz szóval mondja el azt, amit eggyel is lehetne, az egyéb aljasságokra is képes! :-)

Azt úgy értettem, hogy a ß szög meghatározása nélkül is ki lehet számolni, és akkor a pontos eredményt kapjuk meg...

Egyébként, ha jól sejtem, akkor a feladat a szinusz- és koszinusztétel gyakorlását helyezi előtérbe, ilyen szempontból a Héron-képletes megoldás nem jó (meg egyébként sem tanítják sok helyen, mivel a középszintű törzsanyagnak nem része).