Egy derékszögű háromszög befogóinak hossza 5 cm és 12 cm. Mekkora a háromszög átfogóhoz tartozó magassága?

a=5

b=12

c=13

m:5=12:13

Kilencedikes gondolatmenet:

A derékszögű háromszög területe a két befogó szorzatának a fele, azaz 5*12/2=30cm2. A háromszög területe alap szorozva magassággal osztva kettővel. Legyen az átfogó a háromszög alapja! Ezt kiszámolhatod Pitagorasz tétellel (c=13cm). Ekkor 30=13*m/2 amiből m=60/13 cm.

Tizedikes gondolatmenet:

Pitagorasz tétellel: c=13cm ez az átfogó, ezután a befogótételt alkalmazva

a^2=p*c ahol p az "a" befogónak az átfogón lévő merőleges vetülete. Legyen a=5 és b=12.

5^2=p*13 amiből p=25/13.

Legyen q a b befogó átfogón lévő merőleges vetülete. Mivel p+q=c ezért q=144/13.

Magasságtétel szerint m^2=p*q=25/13 * 144/13 amiből m=60/13 cm.

"És honnan derül ki az arány?"

Hasonlóság. Rajzold le, és látod!

A derékszögű háromszögben az átfogóhoz tartozó magasság

m = a*b/c

Egy kis alakítással olyan összefüggést kaphatunk, mellyel a befogókból közvetlenül számítható a magasság

m = a*b/c

m = a*b/√(a² + b²)

Mindkét oldalt négyzetre emelve

m² = a²b²/(a² + b²)

Mindkét oldal reciprokát véve

1/m² = (a² + b²)/a²b²

Jobb oldalon tagonként osztva

1/m² = 1/a² + 1/b²