Ért valaki a lagrange féle multiplikátorhoz? Ezt feladatot egyszerűen nem tudom megoldani.

Sejtésem szerint nem olyan egyszerű a feladat, mint ahogy leírtad, mert elírás történhetett. Felírt kétváltozós függvény f(x,y)=3x+6 bizony nem kétváltozós, azt bárki láthatja. Ebben az esetben a feltételként felírt ellipszis értelmezési tartománya dönt, amire -465.995<=x<=465.995. Mivel 3x+6 monoton növekszik az intervallum legkisebb és legnagyobb értéke dönti el a szélsőérték helyét.

Sejtésem az, hogy f(x,y):=3x+6y folyt. köv. Sz. Gy.

Jelöljük g(x,y)=0 a nullára redukált feltételt tartalmazó egyenletet. A lagrange függvény kétdimenziós alakja: L(x,y,a)=f(x,y)-a*g(x,y), ahol a egy valós szám (Lagrange multiplikátor). Nálad L(x,y,a)=3x+6y-a*(4x^2-24xy+52y^2-267264). Majd megkeressük ennek a háromváltozós függvénynek a feltétel nélküli szélsőértékeit. Ami csak akkor lehet, ha a megfelelő parciális deriváltak zérus értéket veszik fel.

∂L/∂x=0, ∂L/∂y=0, ∂L/∂a=0. Folyt. köv. Sz. Gy.

∂L/∂x=- 8·a·x + 24·a·y + 3=0,

∂L/∂y=2·(12·a·x - 52·a·y + 3)=0,

∂L/∂a=- 4·(x^2 - 6·x·y + 13·y^2 - 66816)=0. Ezt a háromismeretlenes egyenletrendszert kell megoldanod, amelynek megoldása egyrészt a=1/256, x=456, y=120; valamint a=-1/256, x=-456, y=-120. Ezek a pontok kielégítik a feltételi egyenletet, továbbá f(456,120)=2088 illetve f(-456,-120)=-2088. (456,120) a maximális értéket, míg a (-456,-120) a minimális értéket adja. Sz. Gy.

Megjegyzések:

1./ Ezt a feladatot a Lagrange multiplikátoros módszere nélkül is megoldhattad volna. A ferde tengelyű ellipszis egyenletéből fejezd ki y-t kapsz lényegében két megoldást: k1(x)-t és k2(x)-t. És csak a f(x,ki(x)) (i=1,2) egyváltozós függvények szélsőértékeit kell megkeresned. Vigyázz a végén több eset közül kell kiválasztani a minimumot ill. maximumot.

k1(x) = (3·x - 2·sqrt(217152 - x^2))/13; k2(x) = (2·sqrt(217152 - x^2) + 3·x)/13.

2./ A neten találsz egy jegyzetet, ami számodra használható [link] linken. Feltételes szélsőérték-keresés, Lagrange multiplikátoros módszer [Fle86, Boy04].

3./Javaslom elolvasni még az angol nyelvű Wikipédia Lagrange multiplier c. oldalán a bevezető sorokat (Kb. 2x8 sor) és a hozzáfűzött példaanyag közül az első kettőt. Sz. Gy.

Korrekció. Az első lapon a válaszom így kezdődött: Sejtésem szerint nem olyan egyszerű a feladat ....

E helyett ezt kellett volna írnom: Sejtésem szerint nem olyan bonyolult a feladat... Sz. Gy.