Tegyük fel, √2 rationális szám. Hogyan tovább? El tudná valaki egyszerűen és érthetően magyarázni?

Ez esetben √2 felírható p/q egész számok hányadosaként. (Ez a racionális szám definíciója.) Legyenek p és q relatív prímek (ha nem azok, egyszerűsítsük őket, amíg azok lesznek).

Emeljük mindkét oldalt négyzetre, ekkor: 2 = p^2/q^2.

Ebből: 2*q^2 = p^2.

Tehát p^2 páros szám, mivel egész szám 2-vel szorozva.

Ha p^2 páros szám, p is az (páros szám nem lehet páratlan szám négyzete). Legyen p=2x.

Ekkor 2*q^2 = (2x)^2 = 4*x^2, azaz:

q^2 = 2*x^2.

Tehát q^2 is páros, így q is páros.

Ha p és q is páros, p és q nem relatív prímek, tehát ellentmondásra jutottunk -> √2 irracionális.

Ekkor felírható 2 egész szám hányadosaként (legyenek ők relatív prímek, hiszen ha egy szám racionális, akkor van ilyen felírása is):

√2 = a/b /emeljünk négyzetre és szorozzunk be b^2-tel

2b^2 = a^2; -> 2|a^2 -> 2|a ; mivel a páros, írjuk át 2k alakba (a=2k)

tehát 2b^2 = (2k)^2=4k^2

ekkor b^2 = 2k^2 -> 2|b^2 -> 2|b

ami ellentmondás, hiszen feltettük, hogy (a,b)=1 (tehát relatív prímek.