A matek tanárunk ezeket a logaritmusos házikat adta (lent), valaki tud segíteni? Nagyon hálás lennék!

1. Kikötjük, hogy x pozitív valós szám

2. Mindkét oldalból x alapú logaritmust vonva (itt bejön, hogy x nem lehet 1, megvizsgáljuk azt is, hogy mi van, ha x=1 -> 1^(4*0) = 10, ez nem áll fenn, tehát x nem 1) ez adódik: 4*lg(x) = log_{x} (10)

3. Ismert azonosság alapján a jobb oldal átírható 1/lg(x) alakba. legyen lx(x) = a;

így 4*a=1/a (a nem lehet nulla, ha a=0 -> lg(x)=0 -> x=1, ezt már vizsgáltuk, hogy nem lehet)

a-val beszorozva 4*a^2=1; a^2 = 1/4, azaz a=1/2 vagy a=-1/2.

ha a=1/2 -> lg(x)=1/2 -> x=10^(1/2), négyzetgyök 10;

ha a=-1/2 -> lg(x)=-1/2 -> x=10^(-1/2), azaz 1/gyök10.

ellenőrzést ne felejtsük el, mindkét megoldás kijön.

Első két feladathoz hasonló ötlet szükséges.

1. Vegyük mindkét oldal tízes alapú logaritmusát! Azért jó ez, mert így a jobb oldalon egy szép konstans értéket kapsz, bal oldalon pedig a hatványkitevőből el tudod tüntetni azt a rondaságot a logaritmus azonosságainak segítségével (lehozod elé szorzótényezőbe)

Ekkor így néz ki:

4 * lg x * lg x = lg 10

lg x legyen egyenlő y-nal

4*y^2=1

y^2=1/4

ebből: y=0,5 vagy y=-0,5

Visszahelyettesítesz, ellenőrzés/ÉT

2. Hasonló, mint írtam, csak itt most kettes alapú logaritmus a nyerő, mivel a hatványkitevőben is az van.

Innen próbálkozz csak, menni fog.

3. A jobb oldalt fel kéne írni 2-es alapú logaritmussá. Jó lesz, mert onnantól fogva lesz belőle:

log(2)(2x+4)/log(2)(1/2)

log(2)(1/2)=-1

szóval az egyenlőtlenség máris így néz ki:

log(2)(x-3)<= -log(2)(2x+4)

Egy oldalra rendezünk:

log(2)(x-3)+log(2)(2x+4)<=0

log(2)(x-3)(2x+4)<=log(2)1

(x-3)(2x+4)<=1

Másodfokú egyenlőtlenség, ez a tiéd, plusz tessék még ezeket összevetni az eredeti egyenlőtlenség értelmezési tartományaival is, úgy teljes a feladat.

A harmadikat először megoldjuk egyenlőségként:

Kikötés: x-3>0 -> x>3

log_{2}(x-3) = log_{1/2}(2x+4) / a jobboldalt átírjuk kettes alapra:

log_{2}(x-3) = (log_{2}(2x+4))/(log_{2}(1/2)) = (log_{2}(2x+4))/(-1) = -(log_{2}(2x+4)) = (log_{2}(1/(2x+4)))

ez ekvivalens azzal, hogy

x-3 = 1/(2x+4) 2x+4 nem lehet nulla, de mivel x>3, ez a veszély nem áll fenn. :D

(x-3)(2x+1)=1, kibontás, megoldóképlet után: x=(5+gyök(57))/4 és x2=(5-gyök(57))/4 ami kisebb, mint 3, tehát nem megoldás.

tehát a két függvénygörbe x=(5+gyök(57))/4 helyen találkoznak. A kettes alapú logaritmus szigorú monoton nő, az 1/2 alapú szigorú monoton csökken, tehát minden x>x=(5+gyök(57))/4 esetén az eredeti egyenlet baloldala lesz a nagyobb, így csak az ezzel kisebb-egyenlő számok a megoldások.

A kikötéssel összevetve x=]3;x=(5+gyök(57))/4]

remélem nem számoltam el semmit. :D

#5 Érdekelne, hogy te a kettest hogy oldod meg.. "Próbálkozz, ki fog jönni az", ahha.. :D Iterációval esetleg, de az meg olyan, mint ha ollóval nyírnál füvet.

Kedves kérdező, szerintem a 2-es feladat ebben a formában nem oldható meg szépen, vagy a tanár írta el, vagy te.

A második feladat lehet, hogy 2-es alapú log helyett 3-as alapú akar lenni. Azt se lehet normálisan megoldani, de abból ránézésre kijön, hogy x=8, hisz 64 = 8².

De persze ez csak találgatás...