Az 1,2, . ,9 számokat két színnel megszíneztük. Igazoljuk, hogy ekkor van olyan nem azonos számokból álló számtani sorozat mely azonos színű! (? )

Indirekt bizonyítás: tegyük fel, hogy nincsen számtani sorozat. Legyen az 5-ös színe X! (ami nem X, az Y) Ekkor 1 és 9 színe különbözik, különben (1,5,9) számtani sorozat. (*) Legyen közülük a 9-es színe is X! Ekkor így állunk:

_ _ _ _ X _ _ _ X

Ekkor az 1-esnek és 7-esnek is Y-nak kell lennie (különben 1,5,9 ill. 5,7,9 valid számtani sorozat lenne):

Y _ _ _ X _ Y _ X

A 4-es színe X, különben (1,4,7) számtani sorozat lenne. (4,5) X, tehát 3 és 6 is Y kell, hogy legyen, különben középen lesz egy számtani sorozat:

Y _ Y X X Y Y _ X

Bajban vagyunk: ha a 2-es Y, akkor (1,2,3) számtani sorozat, ha a 8-as Y, akkor (6,7,8) számtani sorozat, tehát mindkettő X kéne, hogy legyen, ekkor viszont (2,5,8) számtani sorozat.

Ugyanígy a (*)-gal jelölt lépéstől szimmetrikusan meg lehet csinálni akkor is, ha 1-et jelöljük ki X-nek.

Ellentmondásra jutottunk, az eredeti tételt beláttuk. Természetesen azalatt, hogy (a,b,c) számtani sorozat, azt értettem, hogy azonos színű számtani sorozat.