Hány 3-tagú számtani sorozat van N-ig?

Értelmezem:

Legyen N pozitív egész. Hány olyan pozitív egészekből álló szigorúan monoton növő számtani sorozat van, melynek első három eleme az [1;N] intervallumba esik?

Válasz: Ha N páros, akkor:

d=1 esetén 1;2;3 -tól (N-2);(N-1);N -ig N-2 darab van.

d=2 esetén 1;3;5 -től (N-4);(N-2);N -ig N-4 darab van.

A sorozatok száma mindig N-2d. Összesen: 2+4+6+...+(N-2).

Tehát a páros számokat kell összeadni (N-2)-ig, ezek összege 0,25(N-2)*N

A páratlanokra lényegében ugyanez, csak a páratlanokat kell összeadni N-2-ig.

A kérdés nem jó mert nem tiszta hogy egész, pozitív vagy nemnegatív számokról beszélünk. Pl. 0,1,2 bele kell számolni? És mi van a -5,0,5 sorozattal? És az N szám maga belefér-e?

Hát tegyük fel hogy csak pozitív számokra kérdezed úgy hogy az N már nem fér bele. Ekkor én úgy csinálnám hogy megnézem minden 1<k<N számra hogy ha az a központi elem akkor hány darab lehet. Például nézzük meg N=20, k=7 -re, ugye van az 1,7,13;2,7,12 ... 6,7,8 -- pont 6 darab. Hogy tudjuk megszámolni hány darab lehet? Két körülmény határolhatja a számainkat: ha 2,k,2k-2 még "belefér" akkor k-1 darab van, ehhez az kell hogy 2k-2<N vagyis k<(N+1)/2. Aztán van olyan eset hogy a k-(N-1-k)=2k-N+1,k,N-1 sorozat első darabja kell pozitív legyen azaz 2k-N+1>1 azaz k>N/2 akkor ugye van N-1-k. És milyen szépen kijött hogy más eset nincs hiszen ha az első eset ellentetjét vesszük k nem kisebb mint (N+1)/2 akkor k>=(N+1)/2 az pedig ugyanaz mint hogy k>N/2. Már csak össze kell adni ezeket a számokat: 1<k<N/2 -ig k-1-et, N/2<k<N-1-ig N-k-1 -t. Párosítsuk össze ezeket ügyesen. Ha N páratlan akkor a k számhoz párosítsuk a l=k+(N-3)/2 számot: k-1+N-l-1=k-1+N-(k+(N-3)/2)-1=k-1+N-k-N/2+3/2-1=(N-1)/2 lesz egy páros összege, lesz belőlük (N-3)/2 vagyis összesen (N-1)(N-3)/4 számtani sorozat lehet páratlan N-ekre az előírt feltételek szerint.

Ha N páros akkor a k-hoz rendeljük az l=N/2+k-1 -t, az összegük k-1+N-l-1=k-1+N-(N/2+k-1)-1=N/2-1 lesz, ilyen párosból van N/2-2, de kihagytuk a középsőt, ami még N/2-1-et hozzátesz egymagában azaz (N/2-1)^2 a válasz páros N-ekre. Másképpen írva (N-2)^2/4.