Logaritmus és exponenciális szöveges feladatok?

⑥

A százalék = század.

Például: 8 % = 8/100, más formában 0,08.

X érték 8 %-a, 8/100-a X * 8/100 = X * 0,08.

Ha ennyivel (8%-kal) nő az értéke, akkor ez hozzáadódik az értékéhez, így

X + X*0,08 lesz. X-et kiemelve ez X * (1+0,08).

Vagyis, az új érték 1,08-szorosa az eredetinek ( X * 1,08).

Például: 3,83 % = 3,83/100, más formában 0,0383.

X érték 3,83 %-a, 3,83/100-a X * 3,83/100 = X * 0,0383.

Ha ennyivel (3,83 %-kal) nő az értéke, akkor ez hozzáadódik az értékéhez, így

X + X*0,0383 lesz. X-et kiemelve ez X * (1+0,0383).

Vagyis, az új érték 1,08-szorosa az eredetinek ( X * 1,0383).

A példában X = 1 000 000 Ft.

1 000 000 * 1,0383 = 1 038 300. Ennyi lesz az érték 1 év múlva.

A 2. évben ez az érték (az 1 000 000 * 1,0383) tovább nő 3,83 %-al, ami

(1 000 000 * 1,0383) * 1,0383 = 1 000 000 * 1,0383² lesz.

A 3. évben ez az érték nő 3,83 %-kal, ami

(1 000 000 * 1,0383²) * 1,0383 = 1 000 000 * 1,0383³ lesz.

Akkor, mennyi lesz 21 év múlva?

1 000 000 * (1,0383^21) ≈ 1 000 000 * 2,2018104788 ≈ 2 201 810 Ft.

A hatvány 3 szereplőből áll: alap, kitevő, hatványérték.

Például: 10².

• Itt az alap: 10. A kitevő (2) azt mutatja, hogy az alapot hányszor kell önmagával összeszorozni. 2 esetén 2-szer, tehát 10*10. A hatványérték: az eredmény. Itt 100. Vagyis, a hatványérték volt az ismeretlen.

• Ha az alap az ismeretlen, akkor azt gyökvonással számolhatjuk ki. Annyiadik gyököt kell vonni, amennyi a kitevő volt a hatványozásnál, és a gyök alatt a hatványérték szerepel.

√100 = 10.

A számológépeken nem szokott tetszőleges gyök szerepelni. Például 3^7=2187. Az alapot 7. gyök alatt 2187-ként lehetne kiszámolni, de a számológépeken nincs 7. gyök. Ilyenkor a hatványértéket a kitevő reciprokára emelve számolunk: 2187^(1/7); és ez 3-at eredményül.

• Ha a kitevő az ismeretlen, akkor azt, idegen szóval: a logaritmust kell keresni.

Olyan alapú logaritmust kell használni, ami az alap volt, és a logaritmus után a hatványérték szerepel.

A 10-es alapú logaritmust lg-vel, vagy log-gal szokták jelölni. lg(100) = 2.

A számológépeken a 10-es alapú logaritmuson kívül a természetes alapú (2, 2,7182818284…), ln-nel jelölt logaritmus szokott lenni.

Pl. a 3-as alapú logaritmus 2187-et úgy kell kiszámolni, hogy lg(2187) / lg(3); vagy ln(2187) / ln(3); ami 7.

És akkor a feladatok.

Azért a 6-ossal kezdtem, mert annak logikája szerint kell számolni, csak itt nem a hatványértéket kell kiszámolni, hanem a kiveőt.

①.

1,0383 helyett itt 1,19 van. Viszont itt nem tudjuk, hogy hányadik hatványra kell emelni.

Vagyis a hatványkitevőt (logaritmust) keressük.

A hatványérték 4, hiszen induláskor van valamilyen X lakosság szám, ami Y * (1,19^X) X-év után 4*Y lesz.

Y * (1,19^X) = 4 * Y ◄ :Y

(1,19^X) = 4

lg(4) / lg(1,19) = 7,96935…

Vagyis, közel 8 év alatt 4-szereződik meg a lakosság száma.

②

Ugyanaz, mint az előző, más számokkal.

lg(2) / lg(1,12) = 6,11626…

Közel 6 év alatt 2-szereződik meg a lakosság száma

③

Ez is ugyanolyan, csak kicsit másképp van megadva a növekedési cél. Nem arányszámmal, hanem értékekkel. Az arány 100 000 / 11 211 = 8,919811.

Csak a változatosságért, most lg helyett ln-nel számolok:

ln(8,919811) / ln(1,0418) = 53,4377…

④

Azért, ez sem vészesen tér el. Hasonlít a 6. feladatra.

260g 0,92%-a az 260 * (0,92/100) = 2,392 g. Ennyivel csökken 1 év alatt a anyag tömege.

Ezért 1 év múlva 260 g – (260 * 0,0092) = 260 - 2,392 g = 257,608 g lesz.

Úgy is felírható az 1 év utáni tömeg, hogy 260 * (1-0,0092)

Újabb év múlva ez az érték fog tovább csökkenni.

(260 * (1-0,0092)) * (1-0,0092) = 260 * (1-0,0092)² lesz.

A 11. év végén 260 * (1-0,0092)^11 lesz.

Ez 234,865531 g.

⑤

Ez a 3. és 5. feladat keveréke.

ln(0,3) / ln(1-0,00099) = 1215,53…

Nem egészen...

4 000 000 = 2 000 000 *(1+0,0179)^t; vagy

4 000 000 = 2 000 000 * 1,0179^t

Olyan 39 év körüli az eredmény.