Mi az irracionális hatványkitevő értelmezése?

Tegyük fel, h. q>1, p>1 és q^p -ről van szó, ahol b irracionális. Nyílvánvalóan létezik végtelen sok a,b racionális szám, úgy hogy a<p és p<b.

Kellően finomítva a és b értékét, p-re tetszőleges pontos numerikus érték adható.

Mivel az exp. fv. szigorúan monoton, ezért nyílván q^a<q^p<q^b.

Igazolható, hogy ekkor létezik egyértelműen r valós szám, melyre p=r. Na kb. ez az egyik megközelítési lehetőség.

Még folytatom: Az a és b törteket úgy finomítjuk, hogy valamely sorozatként értelmezzük, azaz legyenek ezek a(n) és b(n). Ezek olyanok legyenek, hogy:

lim a(n)=p és lim b(n)=p.

Mivel a fv.-ünk szigorúan monoton volt, ezért felírhatjuk hogy:

lim q^a(n)<=lim q^p <=lim q^b(n).

A rendőr-elv értelmében tehát valóban létezik egyetlen p, melyre igaz, amit szeretnénk.

Tehát világos, hogy lényegében ekkor q^p-re egy határértékes definíciót adhatunk.

Tehát ez az értelmezés.

Irracionális számokat felírhatunk racionális sorok határértékenként: p=\sum_{i=1}^{n}q_i, q\in\mathbf{Q},

ekkor bármilyen m számra m^p=m^{\sum_{i=1}^{n}q_i}, ami a hatványozás azonosságai alapján m^p=\prod_{i=1}^{n}m^{q_i}.

A másik értelmezés szerint az exponenciális függvényből indulunk ki. e=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}. Bizonyítható, hogy e^x=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x}{n!} teljesíti a hatványozás azonosságait, folytonos és minden racionális pontban a helyettesítési értéke megegyezik az e megfelelő hatványával. Az inverzét \ln{x}-szel jelölve kapjuk, hogy f^p=e^{p\cdot\ln{f}}.