Írjunk fel olyan irracionális számot, amely nagyobb 0,99-nál, de kisebb 1-nél?

Másik megoldás: racionális számok gyökének hozzávetőleges értékét kétoldali közelítéssel szoktuk meghatározni; mivel tudjuk, hogy nagyobb pozitív szám négyzete nagyobb, ezért például gyök(2) értékére: 1<gyök(2)<2, mivel 1<2<4. Ha ennél pontosabb eredményt akarunk, akkor a bal és a jobb oldali számot megfelelő mértékben növeljük és csökkentjük, így 1,4<gyök(2)<1,5, mivel 1,96<2<2,25, és így tovább, annak a függvényében, hogy mekkora pontossággal akarjuk a szám értékét meghatározni.

Ezen gondolatmenet megfordításával találhatunk megfelelő négyzetgyökös alakú irracionális számot; tegyük fel, hogy a keresett (irracionális) szám x, ekkor igaz, hogy 0,99<x<1, ha négyzetre emelünk: 0,9801<x^2<1. Most x^2 helyére válasszunk egy olyan számot, hogy az egyenlőtlenség igaz legyen, például x^2=0,981, ebből x=gyök(0,981). Ez lesz az az irracionális szám, ami nagyobb 0,99-nél, de kisebb 1-nél. Természetesen másmilyen számot is választhattunk volna, a lényeg, hogy irracionális legyen, sőt bármilyen gyökszámmal számolhatunk volna.

Ha esetleg kétséges, hogy gyök(0,981) irracionális-e, könnyen bizonyítható: átalakítjuk: =gyök(9810/10000), ebből a gyökvonás azonosságai miatt kapjuk, hogy =gyök(9810)/100. A 100-zal való osztás nem sérti egy szám (ir)racionalitását, tehát csak gyök(9810)-re kell koncentrálnunk; tudjuk, hogy egy egész szám gyöke csak akkor lehet racionális, hogyha az egész, egyébként irracionális; gyök(9810)=99,0454... nem egész, tehát irracionális, ennek a századrésze szintén (és még azt is látjuk, hogy valóban 0,99 és 1 közé esik az értéke).

De természetesen az előző hozzászóló megoldása is helyes, de ez talán elegánsabb (bár kinek mi az).