Milyen egész oldalhosszúságú téglalapokra teljesül, hogy a kerület mérőszáma 7tel nagyobb, mint a terület mérőszáma?

A K és T megegyezikre találtam egyet.

a=6

b=3

K=2a+2b=18

T=6*3=18

Olyan pozitív egész a-ra és b-re, amire igaz ez:

2a + 2b = ab + 7

Ezt megoldod b-re (a-ra megoldva is ugyanezt kapod, csak b-vel):

b=(2a-7)/(a-2) és a!=2 mert az van a nevezőben

Ezt ha ábrázolod, akkor hiperbolát kapsz, se 'b', se 'a' nem lehet 2. Második grafikonon jól látszik:

[link]

Illetve az is látszik a grafikonon, hogy csak két olyan pont van rajta, ahol 'a' és 'b' is egész, ez pedig az (1,5) és az (5,1) pontok.

Ez a két megoldás lehetséges.

Az előző válaszolóhoz csatlakozva egy WolframAlpha nélküli megoldás.

A kerület

2a + 2b = K

A feladat szerint a kerület és terület különbsége

K - T = d

Ebből

K = T + d

ill.

K = ab + d

Ezt behelyettesítve a kerület képletébe a kiinduló egyenlet

2a + 2b = ab + d

A 'b'-t kifejezve

b = (2a - d)/(a - 2)

A számlálót átalakítva

b = (2a - 4 + 4 - d)/(a - 2)

b = [2(a - 2) + (4 - d)]/(a - 2)

Tagonként elosztva lesz:

b = 2 + (4 - d)/(a - 2)

ahol d tetszőleges szám

Ha d = 7, a feladat szerinti érték:

b = 2 + (4 - 7)(a - 2)

b = 2 - 3/(a - 2)

A tört akkor lesz egész szám, ha

a = 5

ekkor

b = 1

Ha d = 0 vagyis a kerület és a terület mérőszáma azonos:

b = 2 + 4(a - 2)

ekkor

a = 6

így

b = 3

Egy kis kiegészítés a feladathoz.

Két tetszőles szám (K, T) akkor lehet egyazon téglalap kerülete és területe, ha

q = K²/T ≥ 16

illetve ha a kerület és a terület mérőszáma azonos

K = T = N

q = N²/N

q = N ≥ 16

A feladatban megadott érték esetén (d = 7)

A kerület

K = 2(5 + 1)

K = 12

A terület

T = 5

és

q = K²/T = 144/25

q = 28,8 > 16

K = T esetén

K = T = N = 6*3

q = 18 > 16

A q = 16 eset az a = 4 egységnyi oldalhosszú négyzetet jelenti, ez az egyetlen négyzet, melynek területi és kerületi mérőszáma megegyezik.

DeeDee

***********