Milyen valós x-re teljesül a következő egyenlet?

1.

cos 2x - √3·sin 2x = √2

Ha ugyanannak a számnak (most 2x) van a szinusza is meg a koszinusza is, akkor abból lehet csinálni egyetlen sin(α+β) értéket, így:

Szorozzuk be az egyenletet egy jelenleg ismeretlen A számmal:

(1) A·cos 2x - A·√3·sin 2x = A·√2

Tudjuk, hogy:

(2) sin(α+β) = sinα·cosβ + cosα·sinβ

Na most ha β = 2x, akkor legyen A=sinα, -A·√3 = cosα, ezzel (2) ugyanaz lett, mint (1) bal oldala.

Ebből:

tg α = sinα/cosα = -1/√3

α = -π/6

A = sin α = sin(-π/6) = -1/2

(2) és (1) összevonásából:

sin(α+β) = A·√2

sin(2x - π/6) = -√2/2

Innen már egyszerű:

γ = 2x - π/6

sin γ = -√2/2

Két megoldás van:

a) γ = -π/4 + 2kπ

b) π/2 - γ = -π/4 + 2kπ

stb., fejezd be.

2.

Tudjuk, hogy

cos 4x = cos(2·2x) = cos²2x - sin²2x

= (cos²x - sin²x)² - (2·sinx·cosx)²

= cos⁴x + sin⁴x - 2·sin²x·cos²x - 4·sin²x·cos²x

= cos⁴x + sin⁴x - 6·sin²x·cos²x

= cos⁴x + sin⁴x - 1.5·sin²2x

Ezzel a feladat:

0 = -1.5·sin²2x

sin 2x = 0

2x = k·π

x = k·π/2