Valaki segítene ezekben az exponenciális egyenletekben?

2.

3^x + 3^(y - 1/2) = 4

(2x - y)^2 = 9/4

A másodiknál vonjunk gyököt:

2x - y = 3/2 VAGY 2x - y = -3/2

y = 2x - 3/2 VAGY y = 2x + 3/2

Ezeket helyettesítük be az elsőbe:

(a) y = 2x - 3/2

3^x + 3^(2x - 3/2 - 1/2) = 4

3^x + 3^(2x - 2) = 4

3^x + 3^2x * 3^(-2) = 4

3^x + (3^x)^2 * 1/9 = 4

Legyen a := 3^x

a + 1/9 * a^2 = 4

a^2 + 9a - 36 = 0

a1 = 3

a2 = -12

a1 = 3^x = 3

x1 = 1, mert a 3^x függvény szigorúan monoton növő.

y1 = 2x1 - 3/2 = 1/2

a2 = 3^x = -12

Ennek nincs megoldása, mert 3^x > 0 minden x-re.

(b) y = 2x + 3/2

3^x + 3^(2x + 3/2 - 1/2) = 4

3^x + 3^(2x + 1) = 4

3^x + 3^2x * 3 = 4

3^x + (3^x)^2 * 3 = 4

Legyen b := 3^x

b + 3*b^2 = 4

3b^2 + b - 4 = 0

b1 = 3

b2 = -4

b1 = 3^x = 3

x2 = 1, mert a 3^x függvény szigorúan monoton növő.

y2 = 2x2 + 3/2 = 7/2

b2 = 3^x = -4

Ennek nincs megoldása, mert 3^x > 0 minden x-re.

Tehát két megoldás van:

(1; 1/2)

(1; 7/2)

Amiket még ellenőrizni kell!