Nyári feladat,11. osztály, segítség?

1) Így jelölöm én:

3x (az x felső indexben és négyzeten) -> 3^(x^2)

Így a feladat:

3^(x^2) = 27*9^x

Először is észre kell venni, hogy jobb oldalon a 9 is a 3 hatványa, vagyis 9=3^2. Így továbbírva a feladatot:

3^(x^2) = 27*3^2^x

Van egy olyan azonosság, hogy a^b^c=a^(b*c). Így továbbírva:

3^(2x) = 27*3^(2x)

Le lehet osztani a 3^(2x) taggal, így kijön, hogy 1=27, tehát ellentmondás, nincs megoldás.

2)

Először is az elmélet hozzá, ugynais az "x-edik gyököt" át lehet írni hatvánnyá. Például, ha valami négyzetgyök alatt van, az ugyanaz, mint ha az a valami az 1/2-n lenne. Köbgyök alatt olyan, mint ha az 1/3-n stb. Példákkal illusztrálva:

köbgyök(x) = x^(1/3)

negyedikgyök(x^3) = x^(3/4)

hatodikgyök(x^7) = x^(7/6)

Tehát, ahányadik gyök, az megy az indexben lévő törtben a nevezőbe, a gyök alatt lévő rész indexe pedig a számlálóba.

Na most a feladat:

köbgyök(4^x) = gyök[2^(3x+1)]

Az előbbi mesét felhasználva:

4^(x/3) = 2^[(3x+1)/2]

Az első feladatban lévő azonosságot felhasználjuk, mivel 4=2^2:

2^(2x/3) = 2^[(3x+1)/2]

Most már azonos az alap, hivatkozhatunk arra, hogy az exponenciális függvény monoton, ezért a kitevők egyenlőek:

2x/3 = (3x+1)/2

4x = 3*(3x+1)

4x = 9x + 3

5x = -3

x = -3/5

Visszaellenőrizve, behelyettesítés után kijön, hogy a két oldal megegyezik, így a megoldás jó.

# 1 rosszul oldotta meg az első feladatot.

ez az azonosság: a^b^c=a^(b*c) ebben a formában nem igaz. <gy viszont igen: (a^b)^c=a^(b*c) Fontos, hogy a és b zárójelben van. (Nem mindegy, hogy előbb a-t emelem b-re, majd ezt c-re, vagy előbb b-t c-re, és ez lesz a kitevője. Pl (2^3)^4=8^4=4096 és 2^(3^4)=2^81=nagyon nagy szám, 24 jegyű.)

Tehát a 9 átírása után:

3^(x^2) = 27*(3^2)^x

(3^2)^x átírható 3^(2x) alakba.

3^(x^2) = 27*3^(2x)

még azt is észre lehet venni, hogy a 27 is felírható 3 hatványaként: 27=3^3

3^(x^2) = 3^3*3^(2x)

3^(x^2) = 3^(3+2x)

Elhagyjuk az alapokat:

x^2= 3+2x

Kaptunk egy másodfokút.