X^3 * (x^a - 1) = 1. Hogy oldom meg?

X^3*(x^a-1)=1

x^(3+a)-x^3=1

x^(3+a)-x^3-1=0

Ebből a-paraméter értéke nélkül nem lehet x-et kifejezni.

Itt mi a kitevő? Ez? 3 * (x^a - 1)

Ha igen, akkor x = 1 és ” a ” = tetszőleges szám

a megoldás.

Ez esetben a 3 * (x^a - 1) kifejezés értéke nulla lesz, és bármely szám nulladik hatványa = 1

Csak numerikus módszerekkel (próbálgatással) tudsz eredményeket találni, nem lehet egzaktul kifejezni az ismeretlent a függvényében (legalábbis biztos nem egyszerű). Nem adott meg semmilyen halmazt, hogy x-et és a-t miből lehet válogatni? Mert valószínű egyébként hogy nincsen valós megoldáspár (és akkor ezt elvileg be is lehet bizonyítani...

[link]

Nem pontos megoldás lesz, csak meggondolások a megoldások számáról és körülbelüli értékükről:

Átrendezve:

x^(a+3) = x³ + 1

A jobb oldalnak x=-1 esetén van zérushelye, x=1 esetén pedig 2 az értéke. Szigorúan monoton növekvő függvény (ez a megoldások száma miatt lesz érdekes).

A bal oldalról annyit tudunk, hogy az 'a' konstans nagyon nagy szám. Ha páratlan, akkor a+3 páros, olyankor a bal oldali függvény alakja egy U betűre emlékeztet, ahol az U két szára -1 és +1-nél van. Minél nagyobb az 'a', annál szögletesebb az U betű. A (-1; +1) intervallumban a bal oldal értéke gyakorlatilag nulla, ±1 esetén pontosan 1, azon kívül pedig gyorsan felszalad a végtelenhez. Az is fontos, hogy folytonos függvény. Ekkor (vagyis páratlan 'a' esetén) két valós megoldása is van az egyenletnek, az egyik x₁ = 1+ε₁ a másik pedig x₂ = -1+ε₂ helyen, ahol ε₁ és ε₂ kis pozitív számok. Ez a bal oldal folytonossága és a jobb oldal szigorúan monon növekedése miatt van, de most nem részletezem. Ez az ábra segít a megértésben:

[link]

Ha 'a' páros, ekkor a+3 páratlan, akkor a bal oldali függvény olyan tört vonalra emlékeztet, ami -1 és +1 között vízszintes (gyakorlatilag nulla a függvény értéke nagyon nagy 'a'-knál), +1-nél felfelé, -1-nél lefelé törik (pont ±1-nél az érték persze ±1). Ekkor a monotonitás miatt csak egy valós megoldás lesz, ami x = 1+ε, ahol ε egy kis pozitív szám.

[link]

Ahogy nől az 'a' értéke, úgy az ε-ok tartanak a nullához.

Miért nem mondtad eddig? Így nagyon egyszerű.

Ha h tart végtelenhez, akkor a tart mínusz végtelenhez, x^(a+3) pedig tart a nullához.

Az eredeti egyenlet ez: x^3·(x^a - 1) = 1

ami határértékben tehát ez lesz: -x³ = 1

vagyis x = -1