Egy fiókban piros és fehér zoknik vannak. Találomra kiveszünk 2 zoknit. Annak az esélye, hogy mindkét zokni piros 1/2. Legalább hány zokni van a fiókban?

p db piros és f db fehér esetén:

az összes eset:

(p+f) alatt a 2, azaz (p+f)(p+f-1)/2

csak piros eset:

p alatt a 2, azaz p(p-1)/2

a szöveg alapján a két mennyiség hányadosa 1/2, amiből:

[p(p-1)/2]/[(p+f)(p+f-1)/2]=1/2

2p(p-1)=(p+f)(p+f-1)

2p^2-2p=p^2+2pf+f^2-p-f

p^2-2pf-f^2-p+f=0

ezt tekinthetjük p-re nézve másodfokú egyenletnek f paraméterrel:

p^2-p(2f+1)+f-f^2=0

ennek diszkriminánsa: 8f^2+1

ahhoz, hogy p értéke egész szám legyen, a diszkriminánsnak négyzetszámnak kell lennie;

f=0 lehetetlen ugye, ezért f=1 a legkisebb megfelelő érték

ekkor

p^2-3p=0

ebből pedig p=3 a megfelelő megoldás

vagyis 3 piros és 1 fehér esetén működik a dolog, és ennél kevesebb nyilván nem is lehet

ellenőrzés:

3 alatt a 2 = 3

4 alatt a 2 = 6

így valóban 1/2 a valószínűség