Segítene valaki ezekben az integrálásokban (sürgős)?

Itt egy hasznos oldal, ami minden ilyesmit kiszámol neked:

[link]

A többit remélem be tudod pötyögni magad is.

A Wolfram kiszámolja, de nem mondja meg, hogyan jött ki... ennek ellenére nagyon nagy segítség.

1) x és cos x szerű kifejezések szorzata. Mindkettőt könnyű deriválni is meg integrálni is, ez adja az ötletet a megoldáshoz. (Elég lenne, ha csak az egyiket lehetne könnyen integrálni, a másikat meg könnyen deriválni.)

Szóval parciális integrálást érdemes csinálni, ami ezen alapul:

(f·g)' = f '·g + f·g'    →   f '·g = (f·g)' - f·g'

amit ha integrálunk:

∫ f '·g dx = f·g - ∫ f·g' dx

Most így érdemes f ' és g-t kiosztani:

f ' = cos 3x

g = 2x

ugyanis g deriváltjából kiesik az x, és akkor már könnyebb lesz a dolgunk.

f = 1/3 · sin 3x

g' = 2

Behelyettesítek:

∫ cos 3x · 2x dx = 1/3 · sin 3x · 2x - ∫ 1/3 · sin 3x · 2 dx

ami maradt, azt meg már könnyű integrálni, remélem, menni fog.

Meg aztán a határozott integrál is...

2) Ez sima eset: ∜x = x^(1/4)

Ha meg a nevezőben van, akkor x^(-1/4)

∫ 2·x^(-1/4) dx

aminek a primitív függvényének a legfontosabb része simán az x^(-1/4 + 1) = x^(3/4)

Aztán vissza kell deriválni, hogy kiderüljön, mennyivel kell szorozni, hogy pont kijöjjön.

Most ez 8/3 · x^(3/4)

A többit megint rád bízom...

3) Ezt egyszerű integrálni, gondolom, megy.

4) Ez érdekesebb.

Azt kell észrevenni, hogy a nevezőben lévő kifejezés deriváltja nagyon hasonlít a számlálóra (most nem is csak hasonlít, hanem pont ugyanaz.)

Vagyis f ' / f alakú a függvény. Máshogy írva 1/f · f '

Nem csak számláló - nevező esetén kell ezt a derivált dolgot keresni, hanem más függvény esetén is. Mondjuk:

  x · cos(x²)

Itt van x² is valamint a deriváltja is (egy szorzótól eltekintve.)

Ez pedig f ' · cos f, vagy ha jobban tetszik, cos(f) · f' alakú. (Nem pont annyi, most a 2-es szorzó hiányzik, de a szorzókat könnyű pótolni.)

Szóval a közös ezekben, hogy van egy kifejezés (f), ugyanannak a deriváltja (f '), valamint egy függvény (reciprok, illetve koszinusz, stb.)

Most jön a lényeg:

  ln(f) deriváltja 1/f · f'

  sin(f) deriváltja cos(f)·f'

stb.

Most a logaritmusról van szó, tehát a primitív függvény ez:

  ln(3x²+2)

Ellenőrzés: ennek a deriváltja:

  1/(3x²+2) · (6x+0) = 6x / (3x²+2)

kijött.

A határozott integrál már menni fog...

Próbáld a trükköket megjegyezni. Ha valami nem tiszta, szólj.