Tudnátok segíteni ezekben a lineáris algebra feladatokban?

1. Ha egy n változós homogén lineáris egyenletrendszer mátrixának a rangja r, akkor megoldástere n-r dimenziós. Vagyis mondjuk egy 3 változós 1 rendű mátrixos egyenletrendszer jó lesz. Pl. 2 lineárisan összegfüggő egyenlet 3 változóval:

x+y+z = 0

2x+2y+2z=0

Egyébként ha egy egyenletet is egyenletrendszernek tekintenénk, akkor az egy szem x+y+z=0 is jó lenne.

2. Ha az A mátrix sajátvektora v, sajátértéke 3, akkor

A·v = 3·v

(A - 3·I)·v = 0

(a 0 is mátrix itt az előbb. Az I az egységmátrix.)

ami akkor lehet, ha A-3·I determinánsa nulla

Ha a mátrix ez:

(a 1)

(1 1)

akkor a csökkentett (A-3I) mátrix ez:

(a-3 1)

(1   -2)

aminek determinánsa (a-3)(-2) - 1·1

-2(a-3) - 1 = 0

-2a +5 = 0

a = 2.5

Vagyis a mátrix:

(2.5 1)

( 1   1)

Nem volt kérdés, de a v = (x y) sajátvektor ez lesz:

(-0.5 1) (x) = (0)

(1    -2) (y)   (0)

Ami ez az egyenletrendszer:

-0.5x + y = 0

x - 2y = 0

aminek a megoldása x = 2y. Tehát pl. a sajátvektor ez:

(2)

(1)

Ha egységre akarjuk normalizálni, akkor √5-tel kell osztani.