Oldjuk meg ( abc nem 0) esetén az ay + bx = c cx + az = b bz+ cy = a egyenletrendszert. Hogyan bizonyítható be ezáltal melyik nevezetes tétel?

Egy mesés feladat! :-)

Egyszer volt hol nem volt, volt egyszer három pajkos, rakoncátlan királylány: Alfa, Béta és Gamma.

Egyszer olyat tettek, hogy tudták, ha apjuk megtudja, komoly büntetés vár rájuk, ezért úgy döntöttek, jobb, ha eltűnnek egy időre.

Felkeresték hát GeoMetRia királynőt, s kérték, segítsen nekik.

Az istennő hívta egyik fiát, TriGonoszt, a háromszögek népes seregének urát, s elmondta neki, mi a három nővér kérése.

TriGonosz maga elé szólította őket, s megkérdezte, valóban akarják-e, hogy eltüntesse őket, mert később ő nem tudja levenni róluk a varázslatot.

A három nővér azt mondta, elfogadják, tegyen amit jónak lát, csak ne lehessen felismerni őket.

Ekkor TriGonosz elővett három varászköpenyt, elmondta a varázsigét: Co-Sin-Us!

Erre a három nővért beburkolták a köpenyek, s már csak TriGonosz tudta, ki rejtezik mögöttük.

Aztán azt mondta Alfának: a neved ezentúl legyen 'x', majd Bétát 'y'-nak, Gammát pedig a 'z'-nek keresztelte el.

Aztán fogott egy háromszöget, szétdarabolta, majd a nővérek részeit a darabok közé keverve újra összerakta.

Telt-múlt az idő. Egyszer egy királyfinak fülébe jutott a három eltűnt nővér története, s elhatározta, megkeresi őket.

Megtudta, hogy TriGonosz áll a varászlat mögött, ezért felkereste őt, és kérte, segítsen neki.

Az először nem állt kötélnek, de látva a királyfi szilárd elhatározását, egy borgőzös lakoma után megmutatta neki az elvarázsolt háromszöget.

A királyfi ügyesen megfogta a háromszöget, szétszedte, majd az eszközeivel addig alakította a darabokat, míg meg nem találta a három elvarázsolt nővért! De szomorúan látta, hogy nem tud többet tenni, a királylányokat nem láthatja, a varázsköpenyt nem tudja eltüntetni.

Visszament hát TriGonoszhoz, és kérte, árulja el a varázsigét, ami visszaváltoztatja a három nővért.

Hosszas, kitartó unszolásra és néhány átmulatott nap után végül megsúgta a királyfinak a varázsigét. Hozzátette még, hogy a varázslatot csak az Inverzek földjének ura, Arcus király tudja feloldani.

Több se kellett a királyfinak, a tarisznyájába tette a három elvarázsolt nővért, majd elindult megkeresni Arcus királyt.

Miután hosszas vándorlás után megérkezett, a király elé vezettette magát, és elmondta, mi járatban van.

A király elé tette a három elvarázsoltat, aki csak megcsóválta a fejét, és azt mondta, varázsige nélkül nem tud mit tenni, nem tudja milyen ellen-varászigét kell használnia. Ez nem gond, mondta a királyfi, majd odalépett hozzá és megsúgta neki a varázsigét...

Felderült erre a király arca, és azt mondta a királyfinak,

- Kitartásod eredményeként lásd hát a három királylányt.

Felállt, az elvarázsoltak felé fordult, és kimondta az ellen-varázsigét: Arc-Us-Cos!

És lássatok csodát, ott állt a három királykisasszony: Alfa, Béta és Gamma!

Máig is élnek, ha meg nem haltak.

Itt a vége , fuss el véle. :-)

Mit csinált a királyfi?

Sok lehetősége van, az itt következő egy a sok közül.

Szétszedte a háromszöget három részre

ay + bx = c

cx + az = b

bz + cy = a

Az első egyenletet megszorozta 'c'-vel, a harmadikat 'a'-val

acy + bcx = c²

abz + acy = a²

Az elsőből kivonta a másodikat

bcx - abz = c² - a²

Az eredeti második egyenletet megszorozta 'b'-vel

bcx + abz = b²

Az utóbbi két egyenletet összeadta

2bcx = b² + c² - a²

amiből előjött az első elvarázsolt

x = (b² + c² - a²)/2bc

Ugyanígy a többiek

y = (a² + c² - b²)/2ac

z = (a² + b² - c²)/2ab

Tulajdonképpen a három egyenletből a koszinusz tételnek nevezett összefüggés jött ki.

Csak a mese kedvéért a szögek (a királylányok)

Alfa = Arccos(x)

Béta = Arccos(y)

Gamma = Arccos(z)

Egyébként a koszinusz tétel egyik levezetéséhez elegendő egy szögfüggvény és a Pitagorász tétel.

DeeDee

**********