Hány oldala van a konvex sokszögnek, ha egy csúcsából húzható átlóinak száma 18?

Egy n-csúcsú (n>2 egész) konvex sokszög 1 csúcsából n-3 átló húzható (mivel saját magába és két szomszédjába nem megy átló). Ha egy csúcsból 18 átló húzható, akkor 21-szögről beszélünk.

Egy n-csúcsú konvex sokszög belső szögeinek összege 180°*(n-2). Ez azért van így, mert az n-3 darab átló n-2 darab háromszögre bontja a sokszöget, és minden háromszögben a belső szögek összege 180°. Tehát felírhatjuk az egyenletet:

180°*(n-2)=900° /osztunk 180°-kal

n-2=5, ebből n=7, tehát hétszögről van szó.

1. Bármely tetszőleges csúcsból húzhatunk átlót a sokszög összes csúcsába, leszámítva a szomszédosokat (azokkal oldal köti össze) és az adott csúcsot. Így 18+3, azaz 21 csúcsú.

2. A n oldalú sokszöget egy kiválasztott csúcsból húzott átlókkal pontosan n-2 darab háromszögre bonthatjuk. A háromszögek belső szögeinek összege ekkor megegyezik az eredeti sokszög belső szögösszegével. Felhasználva, hogy egy háromszög belső szögeinek összege 180°, ez adódik: 900°/180° = 5, tehát a sokszöget 5 háromszögre bonthatjuk a fenti módon, így 5+2 = 7 oldalú.