Logaritmusos egyenletrendszer. Valaki?

A második egyenletbe fejben helyettesítettem be. (Azt is írd le)

[link]

A második (exponenciális) egyenletet át tudod írni a tanultak alapján:

5^(x+y)=(5^4)^x

A hatványozás megfelelő azonossága miatt:

5^(x+y)=5^(4x)

Az exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt:

x+y=4x, ebből y=3x. Ezt írjuk be az első egyenletbe y helyére.

Az egyszerűség kedvéért én a logaritmust csak log-gal jelölöm, te majd szépen írd oda mindenhova a 2-es alapot.

Tehát az egyenletünk:

log(x+3x+4)+log(3x-x-2)=log(6*(3x)+3x+1)

a logaritmusokon belül összevonunk:

log(4x+4)+log(2x-2)=log(21x+1)

A logaritmus I. azonossága alapján:

log((4x+4)*(2x-2))=log(21x+1)

A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt:

(4x+4)*(2x-2)=21x+1

Kibontjuk a zárójelet:

8x^2-8=21x+1

0-ra redukálunk:

8x^2-21x-9=0

Megoldóképlettel megoldjuk; x(1)=3, x(2)=-3/8, ebből ki tudjuk számolni y értékét is:

y(1)=3x(1)=3*3=9, tehát az egyik megoldáspár: (3;9)

y(2)=3x(2)=3*(-3/8)=-9/8, ezzel a másik: (-3/8;-9/8)

Most nézzük meg, hogy mindkét megoldás jó-e:

1. x=3, y=9:

I. bal oldal: log(3+9+4)+log(9-3-2)=log(16)+log(4)=4+2=6

I. jobb oldal: log(6*9+3*3+1)=log(64)=6, tehát az első egyenlet kielégült.

II. bal oldal: 5^(3+9)=5^(12)=244.140.625

II. jobb oldal: 625^3=244.140.625, ez is jó. Tehát az első megoldás mindenképp jó.

2. x=-3/8, y=-9/8:

I. bal oldal: log(-3/8-9/8+4)+log(-9/8-(-3/8)-2)=log(20/8)+log(-22/8)

Itt már gondban vagyunk, mivel a logaritmuson belülre negatív szám került, azzal pedig nem tudunk mit kezdeni. Tehát a másodjára kapott megoldás nem jó.

Tehát a megoldásunk: x=3 és y=9.