Hogy kell megoldani az alábbi matematika feladatot? (Exponenciális egyenlőtlenség)

3^(2x-1) - 3^(2x-3) < 8/3

Először is átszorzok 3-al, eltüntetve a törtet jobbról.

3*3(2x-1) - 3*3^(2x-3)< 8

azaz

3^(2x) - 3^(2x-2) < 8

Most a 8-at kéne valahogy 3-as alapra hozni.

8=9-1 = 3^2 - 3^0. Akkor átírjuk eszerint:

3^(2x) - 3^(2x-2) < 3^2 - 3^0

Mivel a teljes egyenlőtlenség 3-as alapra van hozva, most az exp. függvény szigorú monotonitására hivatkozva feltételezhetjük, hogy a két tagnak azonos kitevői vannak mindkét oldalon. Azaz: 3^2=3^(2x) és 3^0=3^(2x-2). Mindkét esetben kijön, hogy x=1, és emiatt x<1 számokra teljesül az egyenlőtlenség :)

Az exponenciális műveletek multiplikatívak, ami azt jelenti, hogy pl 3^(x+y) = 3^x * 3^y, és 3^(x*y)=(3^x)^y, mindig "felszorzódnak" az értékek, az összeadásból szorzás, a szorzásból hatványozás lesz.

Amikor a feladat végén a szigorú monotonitásra hivatkozva csak a kitevőket nézed (Ehhez először azonos alapra kell hozni minden számot), ezt viszafelé kell venni, a számok közti szorzás a kitevők között már csak összeadásként fog megjelenni pl, a számok közti összeadás pedig azt jelenti, hogy a kitevők között nem végezhető művelet, így ilyenkor PONTOSAN ugyanolyan alakra kell hoznod a másik oldalt (pl. (2^x - 2^(x+2) = 2^2 - 2^4 , azonos alapok, azonos tagszám, azonos művelet). ilyenkor ugyanolyan alakra hozva biztosan egyezni fognak a kitevők (a fenti példa esetében x=z és y=w). Ilyenkor lesz egyenlő a két oldal, egyenlőtlenségnél meg ez lesz a határ, amitől ha kisebb/nagyobb az x, akkor kisebb/nagyobb az egyik oldal a másiknál :)