Hogyan kell ezt a harmadfokú függvényt megoldani?

Észreveszed, hogy az 1 megoldása, osztod (x - 1)-gyel, a maradékot meg megoldod a másodfokú egyenlet megoldóképletével.

(Amúgy ez nem függvény, hanem egyenlet.)

(x^2-5x+7)(x-1)=0

ebből látszik hogy csak egy valós megoldása van a

X=1

Alakítsuk át egy kicsit az egyenletet:

x*(x^2-6x+12)=7

Tegyük fel, hogy x egész, ekkor a bal oldalon egy olyen szorzat van, amelynek minden tényezője egyenlő. Ez azt jelenti, hogy ha x egész, akkor ennek csak akkor lesz megoldása, ha x|7, tehát x lehetséges értékei: -7;-1;1;7. Láthatjuk, hogy x1=1-re igaz lesz az egyenlőség, tehát a bal oldal felírható ilyen alakban:

(x-1)*p(x)=0, ahol p(x)-et úgy kapjuk, hogy az eredeti kifejezést elosztjuk x-1-gyel (kiemeljük, ami osztással jár). Tehát osszuk el egymással a kettőt:

(x^3-6x^2+12x-7)/(x-1)

Tudjuk, hogy ha a számláló (x-1)^3 alakú lenne, akkor tudnánk egyszerűsíteni, így próbáljuk meg ilyen alakúra hozni; (x-1)^3=x^3-3x^2+3x-1, tehát jó lenne, ha ez lenne a számlálóban. Csináljuk úgy, hogy így legyen; bontsuk szét a számlálót:

(x^3-3x^2+3x-1)+(-3x^2+9x-6))/(x-1)

A tanultak alapján ezt két törtté tudjuk szétbontani:

(x^3-3x^2+3x-1)/(x-1)+(-3x^2+9x-6))/(x-1)

Az első tört értéke (x-1)^3/(x-1)=(x-1)^2 (erre hajtottunk), most a második tag következik; ezt már egyszerű középiskolás módszerekkel meg tudjuk oldani; kiemelünk -1-at: -3*(x^2-3x+2)/(x-1), a számlálót szét tudjuk bontani a gyöktényős képlettel:

-3*(x-1)*(x-2)/(x-1)=-3*(x-2)

Tehát a tört végeredménye: (x-1)^2-3*(x-2)=x^2-2x+1-3x+6=x^2-5x+7, ezzel az eredeti egyenlet átírható ilyen alakra:

(x-1)*(x^2-5x+7)=0

A bal oldalon így megint egy szorzat van, ami csak akkor lesz 0, ha valamelyik tényezője 0; x=1-et már megtaláltuk az első tényezőből, így most a másodikból:

x^2-5x+7=0

Megoldóképletből nem valós szám fog kijönni; ha komplex megoldás is szóba jöhet, akkor

x2=(5+i*gyök(3))/2 és

x3=(5-i*gyök(3))/2

Tehát az egyenletnek 1 valós és 2 komplex gyöke van.