Valaki segítene megoldani ezt a harmadfokú egyenletet?

(x+1)(2x-1)^2=0

innen má megy?

Célszerű megsejteni először egy gyököt. Keressünk pl. egész gyököt a köbös tag együtthatója és a konstans szorzatának tényezőkre bontásával.

Ebből azonnal adódik a -1.

Polinomosztással azonnal kapjuk az eredményt, amit az első válaszoló irt.

Tegyük fel, hogy van egész megoldása az egyenletnek. Alakítsuk át az egyenletet; vonjunk ki 1-et, majd emekjünk ki x-et, ekkor ezt kapjuk:

x*(x^2-3)=-1

A bal oldalon egy szorzat van, aminek az egyik tagja x, erről tesszük fel, hogy egész. Ha ez viszont egész, akkor a szorzat másik tényezője is egész lesz. Tehát azt kaptuk, hogy két egész szám szorzata -1. Vagyis az biztos, hogy x|-1 (x osztója a -1-nek). Csak 2 olyan egész számot ismerünk, ami osztója a -1-nek; a -1 és az 1. Ezeket helyettesítsük be x helyére, ekkor láthatjuk, hogy x=-1 megoldást kaptunk. Így elmondható az, hogy a fenti polinom felírható így:

4x^3-3x+1=(x+1)*p(x), ahol p(x) polinom, innen

(4x^3-3x+1)/(x+1)=p(x)

Elvégezzük a polinomosztást, kapunk egy másodfokú kifejezést p(x)-re, ezután a p(x)=0 egyenletet kell megoldanunk, amit a megoldóképlettel már meg tudunk tenni.

Az ilyenek megoldásához gyakran szerencse kell. Próbálkozni kell mindenfélét, hátha valami bejön.

4x³ - 3x + 1 = 0

  A 3x majdnem 4x, próbáljuk olyanná alakítani... Nem biztos, hogy hasznos lesz, de egy próbát megér:

4x³ - (4x-x) + 1 = 0

4x³ - 4x + x + 1 = 0

  Most már ki lehet emelni az első kettőből a 4x-et:

4x(x² - 1) + x+1 = 0

  Mázlink van, x²-1 ismert dolog

4x(x-1)(x+1) + (x+1) = 0

  Ki lehet emelni x+1-et:

(x+1)(4x(x-1) + 1) = 0

  Ebből az x₁ = -1 gyök már megvan. Ami marad:

4x(x-1) + 1 = 0

  Ez meg már egy sima másodfokú.