Hogyan lehet egy olyan harmadfokú polinomot megadni, amelynek a gyökei a négyzetei az x^3 - 2x^2 + x -12 polinomnak?

Bocs! Nem lehet, hogy rosszul másoltad le a polinomot?

Így valóban csak egy gyöke van, a 3.

Egy valós gyöke van, meg még két nem valós.

Mindenesetre a válaszhoz a gyököket nem kell kiszámolni.

Ha a polinomod (x-a)(x-b)(x-c)

Akkor szétbontva így fog kinézni:

x³ - (a+b+c)x² + (ab+ac+bc)x -abc

Vagyis:

a+b+c = 2

ab+ac+bc = 1

abc = 12

Namost nekünk egy olyan polinom kell aminek a gyökei nem a,b,c hanem

a², b², c²

Az így fog kinézni:

x³ - (a²+b²+c²)x² + (a²b² + a²c² + b²c²)x + a²b²c²

Vagyis ezeket az együtthatókat kell kifejezni.

a²b²c²= (abc)² = 12²=144

a²+b²+c² = (a+b+c)² - 2ab - 2bc - 2ac = (a+b+c)² - 2(ab+bc+ac) =

=2² - 2*1 = 2

a²b² + b²c² + a²c² = (ab + bc + ac)² - 2abbc - 2abac - 2bcac = (ab + bc + ac)² -2abc(a+b+c) =

= 1 - 2*12*2 = -47

Vagyis a polinom:

x^3 - 2x^2 - 47x - 144

Számolj utána a részleteknek, mert fejben számoltam.