Hogyan kell egy harmadfokú egyenletet megoldani?

Tanultátok a harmadfokú egyenlet megoldóképletét? Mert van rá képlet, mint a másodfokúra.

Másik lehetőség, hogy keresel nyilvánvaló megoldást, ami biztos jó, és redukálod másodfokúra. Most a -3 első ránézésre jó megoldás.

(Az első válaszhoz: a -3 nem megoldás...)

Először érdemes a harmadfokú tag tényezőjét 1-re redukálni:

x³ + 5/2·x² - 11/2 = 0

Aztán át kell alakítani olyanra, amiben nincs másodfokú tag. Azt úgy lehet, hogy kiindulunk a z=x+5/6 (általánosságban z=x+b/(3a)) behelyettesítésből. Ezzel ugyanis z³ első két tagja most x³+5/2·x² lesz.

z³ = (x + b/(3a))³ = x³ + 3·x²·b/(3a) + 3·x·(b/(3a))² + (b/(3a))³

z³ első két tagja x³+5/2·x², utolsó két tagja meg 3·x·5²/6² + 5³/6³

Vagyis az eredeti egyenlettel most ez az egyenlet az egyenrangú:

z³ - 3·25/36·x - 5³/6³ - 11/2 = 0

x-et kiküszöbölve:

z³ - 3·25/36·(z-5/6) - 5³/6³ - 11/2 = 0

z³ - 25/36·z + 3·5³/6³ - 5³/6³ - 11/2 = 0

legyenek

p = -25/36

q = 2·5³/6³ - 11/2

Ekkor az egyenletünk ez lesz:

z³ + pz + q = 0

Az ilyen alakúakat lehet megoldni a Cardano képlettel. Annak a levezetése is érdekel?

Hát sikerült elrontanom, egy helyen kimaradt a 3-mal szorzás:

z³ - 3·25/36·z + 3·5³/6³ - 5³/6³ - 11/2 = 0

p = -3·25/36

Dehogynem. pl. ez:

[link]