Egy háromszög legnagyobb szöge a legkisebb szögének kétszerese. A háromszög oldalai egymást követő pozitív egész számok. Mekkorák a háromszög oldalai?

a = 4

b = 5

c = 6

Jó az első válasz, de le is vezetem:

A háromszög szögei α, α+kevés és 2α.

4α + kevés = 180°

ahol 'kevés' 0 és α közötti szám. Vagyis

4α ≤ 180° ≤ 5α

ami azt jelenti, hogy

180°/5 < α < 180°/4

36° < α < 45°

A szinusztétel szerint a/c = sin α/sin γ, ami most sin α / sin 2α = 1 / (2 cos α)

36 foknál a/c = 1/(2 cos 36°) = 0,618

45 foknál a/c = 1/(2 cos 45°) = 0,707

Az adott tartományban a cos monoton függvény, tehát e kettő között van a/c, ami most a/(a+2)

3/5 = 0,6 még kevés, 4/6 = 0,666 jó, 5/7 = 0,714 már sok.

Vagyis egyedül a 4,5,6 számoknak van esélyük, hogy a háromszög oldalai legyenek.

Kellene még ellenőrizni, hogy az ilyen háromszögnek a szögeire tényleg teljesül-e, hogy γ = 2α

A leghosszabb oldal a koszinusztételből:

6² = 4² + 5² - 2·4·5·cos 2α

40 cos 2α = 16+15−36 = -5

cos 2α = -1/8

A legrövidebb oldal:

4² = 6² + 5² - 2·6·5·cos α

60 cos α = 36+25−16 = 45

cos α = 3/4

cos 2α = cos²α - sin²α = 2 cos²α - 1 = 2·9/16 - 1 = -2/16 = -1/8

kijött így is ugyanaz, vagyis tényleg α és 2α a két szög.

------

Bizonyára kijön máshogy is, csak a fenti, kezdetben közelítő megoldás megtetszett.

Másik megoldás kapásból koszinusztétellel (csak gyorsan levezetve, rész-számításokat nem írok) :

Az oldalak a, a+1, a+2

(a+2)² = a² + (a+1)² - 2·a·(a+1)·cos 2α

→ cos 2α = (a-3)/(2a)

a² = (a+2)² + (a+1)² - 2(a+2)(a+1)cos α

→ cos α = (a+5)/(2a+4)

Ezeket helyettesítsük be ebbe: cos 2α = 2·cos²α - 1

(a-3)/(2a) = 2·(a+5)²/(2a+4)² - 1

Ebből kijön egy harmadfokú egyenlet a-ra:

2a³ - a² - 25a - 12 = 0

Pozitív egész megoldást keresünk. Az a 12 osztója kell legyen (mert a többiből ki lehet emelni a-t).

Ki kell próbálni az 1,2,3,4,6,12 számokat. 1,2,3 nem jók, de 4-re kijön, hogy tényleg megoldás, és megvagyunk.

Így is jó, de az első nekem jobban tetszik. Persze ez másra nem kötelező :)

A látszólag egyszerű feladat nagyon érdekes példának bizonyult. :-)

Érdekes a találgatásos módszer, de van ennél konkrétabb megoldás is. :-)

Kiindulásként tegyük fel, hogy a háromszög oldalaira fennáll az

a < b < c

a szögeire az

α < ß < γ

egyenlőtlenség.

Mivel az oldalak számtani sort alkotnak (d = 1), ezért legyen

a = a

b = a + 1

c = a + 2

A megadott feltétel:

γ = 2α

Ezen szögekkel felírt szinusz tétel szerint

(a + 2)/a = sinγ/sinα = sin2α/sinα = 2*sinα*cosα/sinα = 2*cosα

ebből

cosα = (a + 2)/2a

Az α szög határai:

Mivel a

ß = 180 - (α + γ)

ß = 180 - 3α

A szögekre felírt egyenlőtlenség szerint

α < 180 - 3α < 2α

Az egyenlőtlenség bal oldalából

α < 180 - 3α

ill.

4α < 180

így

α < 45

Az egyenlőtlenség jobb oldalából

180 - 3α < 2α

180 < 4α

36 < α

Összevonva a két tartományt adódik a bongolo által is közölt eredmény, miszerint

36 < α < 45

Ha most

cos36 > cosα > cos45

Az egyenlőtlenség megfordul, mert nagyobb szöghöz kisebb koszinusz érték tartozik és fordítva.

A cosα értékét fentebb meghatároztuk, a fix szögek koszinuszai pedig a következők

cos36 = (1 + φ)/2 (bizonyítás nélkül)

ahol φ az aranymetszés arányszáma

φ = (√5 - 1)/2

és

cos45 = √2/2

Ezekkel a következő két egyenlőtlenséget kell megoldani

A (1 + φ)/2 > (a + 2)/2a

és

B (a + 2)/2a > √2/2

Az A egyenlőtlenségből

a > 2/φ

illetve a φ értékét behelyettesítve és rendezve

a > √5 + 1

számszerűen (kerekítve)

a > 3.23

A B egyenlőtlenségből

a < 2(√2 + 1)

számszerűen (kerekítve)

a < 4,82

vagyis az 'a' értéke

3,23 < a < 4,82

egész szám megoldás egyedül az

a = 4

====

Ezzel a háromszög oldalai

a = 4

b = 5

c = 6

*************

Bocs bongolo, egy kis hiba (elírás)

"

A leghosszabb oldal a koszinusztételből:

6² = 4² + 5² - 2·4·5·cos 2α

40 cos 2α = 16+15−36 = -5

cos 2α = -1/8

"

5² = 25 nem 15 :-)

így

cos2α = 1/8

A 2α koszinusza nem lehet negatív, hiszen α < 45°

Csak zárójelben jegyzem meg, hogy nem tartom szükségesnek a kétszeres szög meglétének igazolását, hiszen a a cosα értékét ennek figyelembe vételével kaptuk.

A koszinusz tételes megoldáshoz.

Nem szükséges harmadfokú egyenlet, meg próbálgatás.

Az elején kaptunk egy képletet a cosα-ra, ami figyelembe veszi a γ = 2α feltételt, míg a koszinusz tételes megoldás minden olyan esetre érvényes, amikor az oldalak számtani sort alkotnak.

A két függvény közös pontját kell meghatározni, vagyis meg kell oldani a

(a + 2)/2a = (a + 5)/(2a + 4)

egyenletet.

Ennek megoldása

a = 4

====

DeeDee

************

Kösz a javítást, DeeDee. Nem csak hogy nem tudok négyzetre emelni, de utána még egy előjelhibát is csináltam (18-16 = -2), hogy kijöjjön a megoldás mégiscsak :)

A megoldás ellenőrzése a koszinusztétellel azért kell (és a te megoldásodban is ugyanúgy kell, hisz a tiéd is ugyanazon az elven alapul, mint az enyém), mert csak az a/c = sin α/sin γ összefüggést használtuk fel, de a 'b' él nem szerepel sehol sem a számolásban. Vagyis az rendben, hogy a levezetésből kijön, hogy van olyan γ=2α szögű háromszög, ahol a=4 és c=6, de a levezetés nem mond semmit sem a b oldal hosszáról. Lehet, hogy ebben a háromszögben b mondjuk √26, nem pedig 5 hosszú. Ezért kell ellenőrizni, hogy a 4,5,6 oldalú háromszög tényleg olyan-e, aminél γ=2α.

Máshogy magyarázva: mondjuk lehetne egy olyan feladat is, hogy "Egy háromszög legnagyobb szöge a legkisebb szög duplája, oldalai pedig a=n, b=n+0.5 és c=n+2, ahol n egész szám. Mennyi az n?" Erre a feladatra is pont ugyanez a megoldás, így n=4 jönne ki, de a 4, 4.5, 6 oldalú háromszög mégsem megoldás, mert annak a szögei nem jók.

A másik megoldásod nagyon jó. Ott az egyik egyenlet a koszinusztételből, a másik meg a szinusztételből jön, és szerencsésen másodfokú egyenletet eredményez. Itt nem kell ellenőrizni a megoldást (mint ahogy az én második megoldásomnál sem kell), mert az egyenletek felírásakor az a,b,c oldalak mind szerepeltek.