3. Az ABCD négyzetben P egy olyan pont, hogy az ADP háromszög egyenlő oldalú. Hány fokos a PBC szög? 8. Mekkora a 2 hatványkitevője az első 100 pozitív egész szám szorzatának törzstényezős felbontásában?

az első feladatra kevés az adat, nem megoldható.

a másodiknál szépen összeszámolod, hogy hány szám osztható kettővel 1 és 100 között, mert azok mind adnak egyet a kitevőhöz a szorzatban. Aztán, hogy hány osztható 4-gyel, mert azok adnak még egyet. Aztán, hogy hányan 8-cal, 16-tal, stb.

Az első feladathoz pont annyi adat ismert, hogy egyetlen szám leírása nélkül is megoldható legyen.

Legyen

- a P pontból a BC szakaszra húzott merőleges és a BC szakasz metszéspontja E

- a PB szakasz felező pontja F

Mivel az AB = PB, ezért a PAB háromszög egyenlő szárú, és az A csúcsnál levő szöge 30°. Az AF szakasz a PB alaphoz tartozó magasságvonal, egyben a PAB szög felezője is, ezért az FAB szög 15°.

Mivel AF szakasz merőleges a PB szakaszra, és az AB szakasz merőleges a BE szakaszra, ezért a PBE és a BAF szögek merőleges szárú szögek, így egyenlők, és a PBE (PBC) szög is 15°.

DeeDee

*******

"Mivel az AB = PB"

akkor most én maradtam le, de miért is lenne AP=PB?

Jogos a két pont a hármas asztalnak.:-)

Nem maradtál le semmiről én írtam hülyeséget. :-)

AB = AP a helyes.

"AB = AP a helyes."

Tehát ha jól értem, te úgy értelmezed, hogy az ADP egyenlőszárú háromszögban az AD=AP.

A jelőlés alapján valószinúleg tényleg erre gondolt a feladat kiirója, de számomra ez se volt teljesen egyértelmű.

Mindenesetre akármelyik két oldala egyenlő az ADPnek, a feladathoz kevés az adat, mert ez a tulajdonság csak annyit árul el, hogy a P egy egyenesen (ha AP=DP) ill. egy körön (ha AD=AP vagy AD=PD) mozoghat, amiből még nem jön ki semmi a PBC szögre.

Ok, fussunk neki még egyszer. :-)

A P pont helyzete:

A feladat szerint: "...P egy olyan pont, hogy az ADP háromszög egyenlő oldalú."

Nem egyenlő SZÁRÚ, hanem egyenlő OLDALÚ. Lehet, hogy ez kerülte el a figyelmedet. Márpedig egy egyenlő oldalú háromszög minden oldala egyenlő - a példában a négyzet oldalával - és minden szöge 60°. Tehát a P pont nem mozog semerre sem, tökéletesen meghatározott, fix helye van a négyzeten belül.

A legegyszerűbb, ha rajzolsz egy négyzetet, aztán körzőnyílásba veszed az egyik oldalát, majd az A és D pontokba szúrva

egy-egy rövid körívvel létrehozol egy pontot a négyzeten belül: ez a pont a P pont! Ha ezt összekötöd a B és a C ponttal, akkor kapsz egy egyenlő szárú háromszöget, melynek alapja a négyzet oldala - BD oldal - az egyik szára a PB, a másik a PC szakasz. A szimmetria miatt a PCB szög = PBC szöggel.

Remélem világos, hogy mivel az ADP háromszög minden oldala egyenlő a négyzet oldalával, ezért AP = AB, és a BPA háromszög egyenlő szárú háromszög, melynek az A pontnál levő szöge, PAB = 30°. Ennek a háromszögnek az alapja a PB szakasz. Hogyha meghúzod a BPA háromszög PB alaphoz tartozó magasságát, ez felezi a PAB szöget, így az FAB szög = 15°. Mivel az AF szakasz merőleges a PB szakaszra és az AB szakasz merőleges a BC szakaszra, a merőleges szárú tulajdonsága alapján a PBC szög = FAB szöggel, vagyis a PBC szög is = 15°-kal.

Remélem, sikerült tisztázni a félreértéseket.

Ha valami nem világos, írj.

DeeDee

***********