Matematikai feladat, segítene valaki?

1) Egyszerűen beírod az index számát a sorozatba és kiszámolod.

a10=(3*10+2)/(10-5)=32/5, 20-ra ugyanígy.

2) Az ilyen típusú sorozatoknál két lehetőség van; vagy tudjuk a szabályt, vagy kiszámoljuk. Most ki fogjuk számolni.

(2n+5)/(n^2+3n) /emeljük ki a feladatban létező legnagyobb hatványt, ez az n^2

(n^2(2/n+5/n^2))/(n^2(1+3/n)) /egyszerűsítünk n^2-tel

(2/n+5/n^2)/(1+3/n)

Tudjuk, hogy az 1/x^k (k>0-ra) a határértéke a végtelenben 0, így nézzük meg tagonként, hogy mi hova tart:

lim((2/n+5/n^2)/(1+3/n))=(0+0)/(1+0)=0/1=0, tehát a sorozat 0-hoz tart.

Ezt egy másik hozzászóláshoz írtam, de ide is kell:

Általánosan: az a*(p(x))/(b*(q(x)) alakú sorozatok, ahol p(x) és q(x) normált polinomok (a főegyütthatójuk 1), akkor háromféleképpen alakulhat a határérték:

-ha p(x) együtthatója nagyobb, mint q(x) együtthatója, akkor a végtelenhez tart

-ha kisebb, akkor 0-hoz tart

-ha egyenlő, akkor a/b-hez tart (ahol b nem lehet 0, vagyis q(x) nem lehet a nullapolinom).

Ha ezt tudjuk, rögtön ki tudjuk találni, hogy a sorozat 0-hoz tart.

Monotonitás bizonyítása: meg kell néznünk, hogy milyen n-re lesz monoton:

a1=7/4, a2=9/8, a3=13/12, ez alapján azt feltételezzük, hogy tetszőleges n-re igaz.

Tegyük fel, hogy n-ig tudjuk, hogy csökken, nézzük meg, hogy n+1-re mi a helyzet. Ha ott is csökken, akkor igaz ez az egyenlőtlenség: an>an-a(n+1), vagyis a(n+1)>0, most az eredeti sorozatba írjunk n helyére n+1-eket: (2(n+1)+5))/((n+1)^2+3(n+1))=(2n+7)/(n^2+5n+4)

Nézzük meg, hogy hol lesz ez nagyobb 0-nál. Akkor lesz nagyobb, ha a számláló és a nevező előjele megegyezik. A számláló tetszőleges pozitív egészre pozitív (x>-7/2-re pozitív), így a nevező az érdekes:

n^2+5n+4>0, kellenek a gyökök, képletből: n1=-1 és n2=-4, tehát n^2+5n+4=(n+1)(n+4)>0. Tetszőleges pozitív n-re a szorzótényező mindkét tagja pozitív, tehát a tört is pozitív lesz, vagyis a sorozat tényleg monoton csökkenő.

Határérték bizonyítása deltás-epszilonos tétellel: ha egy sorozatnak van határértéke, és az =A, akkor létezik olyan (d)elta>0, hogy minden (E)pszilon>0-ra fennáll ez az egyenlőtlenség: abszolutérték(an-A)<E, be kell helyettesíteni, és el kell végezni az egyenlőtlenséget:

abszolutérték((2n+5)/(n^2+3n)-0)<0,002, innen mivel az abszolutértéken belül biztosan pozitív van, ezért elhagyható, a relációsjel marad:

(2n+5)/(n^2+3n)-0<0,002

2n+5<0,002(n^2+3n)

2n+5<0,002n^2+0,006n

0<0,002n^2-1,994n-5

0<n^2-997n-2500

Megoldóképlettel. n1=~999,50125 n2=~-2,50125, innen minket az n1 érdekel, tehát ha n>999,50125, akkor lesz ez a polinom

pozitív, és ekkor teljesül az eredeti egyenlőtlenség. n0-lal jelöljük a sorozat azon n. tagját, amelytől a sorozat összes tagja már beleesik a meghatározott epszilonos környezetbe, ezért n0-nak pozitív egésznek kell lennie, ráadásul az n>999,50125 egyenlőtlenségnek is megoldásának kell lennie, vagyis n0=1000.

Érthető voltam? :)