Matematika házi, van-e ilyen minden számnak?

Igen. Megmutatjuk, hogy tetszőleges n természetes számnak van ilyen többszöröse.

Tekintsük az alábbi n+1 darab számot:

1, 11, 111, ... , 111...1,

ahol az utolsó szám n+1 darab 1-esből áll.

Nézzük ezeknek az n-el alkotott osztási maradékait. A skatulyaelv miatt biztosan van közöttük két olyan, ami ugyanannyit ad n-el osztva maradékul.

Tekintsük ennek a két számnak a különbségét! Ez a különbség biztosan osztható n-el, tehát n-nek többszöröse. És az is biztos, hogy csupa 1-ből és 0-ból áll: az első néhány jegye 1-es lesz, az összes többi 0. (Ha ezek az x db és y db 1-esből álló számok voltak, ahol x>y, akkor az első x-y jegye 1-es lesz, majd az utolsó y jegye 0.)