Teljes indukció egyenltőtlenségnél, hogy kell eljárni?

a bal oldali reláció nem is indukcióval működik, az csak sima becslés:

minden tag nagyobb (v. egyenlő) az utolsónál, így:

1+1/gyök(2)+1/gyök(3)+1/gyök(4)+...+1/gyök(n)>

>1/gyök(n)+1/gyök(n)+ ... +1/gyök(n)=n*1/gyök(n)=gyök(n)

A jobboldali valóban teljes indukciós.

Itt is az indukciós feltevést kell "elsütni" csak egy fokkal figyelmesebben:

kis n-ekre könnyen ellenőrizhető ugye....

tegyük fel, hogy n=k esetén igaz:

S(k)=1+1/gyök(2)+1/gyök(3)+1/gyök(4)+...+1/gyök(k)<2*gyök(k)

mi a helyzet n=k+1 esetén?

S(k+1)=1+1/gyök(2)+1/gyök(3)+1/gyök(4)+...+1/gyök(k)+1/gyök(k+1)

ebben szerepel az indukciós feltevés bal oldala, így:

S(k+1)<2*gyök(k)+1/gyök(k+1)

most az lenne a jó, ha eza jobb oldali kif. kisebb lenne, mint az ind. felt. jobb oldali kifejezése k helyett (k+1)-gyel:

tehát igazolandó, hogy:

2*gyök(k)+1/gyök(k+1)<2*gyök(k+1)

ekvivalens átalakításokkal:

2*gyök(k)*gyök(k+1)+1<2*(k+1)

2*gyök(k^2+k)<2k+1

4*(k^2+k)<4k^2+4k+1

4k^2+4k<4k^2+4k+1

ez nyilván igaz, tehát következik (k+1)-re is az állítás, ha k-ra igaz