Hogyan lesz [ (k+1) (k+2) (k+3) az egész törve 3-al]-ból k (k+1) (k+2) az egész törve 3-al + (k+1) + (k+1) ^2?

Amit te akarsz sose fog kijönni.

Egyszerű a dolog, behelyettesítesz egy tetszőleges k számot, és a két oldalnak mindig egyeznie kell.

Egy másik dolog, hogy az eredetiben van egy k^3-on tag a kibontás után. A másikban meg nincs, ezért tuti, hogy az egyikből nem lehet kihozni a másikat.

(k+1) (k+2) (k+3)/3 pl így alakítható:

k+3-at felbontjuk, akkor

[(k+1)(k+2)*k+(k+1)(k+2)*3)/3]=(k+1)(k+2)*k/3+(k+1)(k+2)

Az első tagban pedig k+2=(k+1)+1

(k+1)(k+1+1)*k/3+(k+1)(k+2)=

(k+1)(k+1)*k/3+(k+1)*(1)*k/3+(k+1)(k+2)=

(k+1)^2*k/3+(k+1)*k/3+(k+1)(k+2)=

[(k+1)^2*+(k+1)]*k/3+(k+1)(k+2)

Ez valami hasonló, mint amit te szeretnél.

(k+1)(k+2)(k+3)/3 = (k³ + 6k² + 11k + 6)/3

k(k+1)(k+2)/3 + k+1 + (k+1)² = (k³ +3k² + 2k)/3 + (3k+3)/3 + (3k² + 6k + 3)/3 =

= (k³ + 6k² + 11k + 6)/3

Vagyis a két oldal valóban megegyezik.

Ha folytonosan akarod valahogy a megoldást, akkor elindulsz az egyik oldalról, eljutsz a közös végeredményig aztán onnan visszafelé dolgozva eljuthatsz a másik oldalig.

Vagy persze azt is mondhatod, hogy van mondjuk k db 1Ft-os, 1 db 10Ft-os, 1 db 100Ft-os és 1 db 1000 Ft-os. Hányféle sorrendben lehet öket lerakni, ha az 1Ft-osok sorrendje nem számít?

A baloldal az nyilván ennek az értéknek a harmada.

De ezt kiszámíthatjuk úgy is, hogy először összeszámoljuk hány megoldás kezdődik 1Ft-ossal.

k(k+1)(k+2)

Hány darab kezdődik nem 1Ft-ossal?

3((k+1)(k+2) = 3(k+1) + 3(k+1)(k+1)

A kett0 összege a jobb oldal 3-szorosa.

Vagyis a két oldal az ugyanannak a leszámolási problémának a megoldásának a harmada.