Matek feladatok. Tudnátok segíteni?

1. Rajzolj a koordinátarendszerbe egy kört, aminek a középpontja (0,0) és a sugara 1. Ha az origóból indítassz egy félegyenest, ami alfa szöget zár be az x-tengely pozitív irányával, akkor keresd meg ennek az előbb rajzolt körrel vett metszéspontját. Ennek a második koordinátája lesz sin(alfa).

A kérdésed most az, hogy milyen (alfa) esetén lesz ez -1/2.

Nézd meg először is, hogy hol vannak azok a pontok, amiknek a második koordinátája -1/2. Ezek az y=-1/2 egyenesen vannak, ami párhuzamos az x tengellyel, és alatta van -1/2 távolságra. Ez az egyenes hol metszi el az elsőként rajzolt kört? Láthatod, hogy két pontban is. Nézzük először ezek közül a "jobboldali" metszéspontot. Azt kell kitalálni, hogy ha ezt a metszéspontot összekötöd az origóval, akkor a kapott félegyenes mekkora szöget zár be az x-tengellyel. Ha még a metszésponból az x-tengelyre egy merőlegest is rajzolsz, akkor keletkezik egy kis derékszögű háromszög, aminek az átfogója 1 (mert az a kör sugara) és az egyik befogója 1/2 (mert olyan messze van a rajzolt egyenesed az x-tengelytől. Észre lehet venni, hogy ez a derékszögű háromszög egy szabályos háromszög fele, ezért az origóban levő szöge 30 fokos. De vigyázzunk, mert ez a 30 fok most az x-tengely alatt van, ezért a keresett szög 360-30=330 fok.

Nézzük a másik metszéspontot: az ábra szimmetrikus az y-tengelyre, tehát a másik metszéspontot az origóval összekötő egyenes is 30 fokos szöget zár be az x-tengellyel, csakhogy ezt a szöget az x-tengely negatív részével zárja be. Mi azonban azt keressük, hogy mekkora szöget zár be az x-tengely pozitív irányával, ez a szög

180+30=210 fok.

Tehát a válasz az első kérdésre: a 210 fokos és 330 fokos szögek szinusza -1/2.

2. A második feladatnál az az érzésem, hogy az egyenlet jobboldalán 6sin2x helyett 6sin^2x lehet (tehát 6*szinusznégyzet x :) ).

Ekkor vezessünk be egy új ismeretlent: y=sinx.

Így az egyenlet:

13y=6y^2+5,

6y^2-13y+5=0.

Ennek a másodfokú egyenletnek a gyökei: 20/12 és 1/2.

Mivel sinx csak -1 és 1 között lehet, ezért csak a második gyök jöhet számításba. Tehát

sinx=1/2.

Ehhez kell visszakeresni x-et. Ezt az első feladatnál már részletesen leírtam, hogy hogy kell; most csak a végeredmény:

x=30+k*360 vagy x=150+k*360

(vagy ha ívmértékben szoktátok:

x=pi/6+2k*pi vagy x=5pi/6+2k*pi.)

3. A Thales-kör középpontja a szakasz felezőpontja, sugara pedig a szakasz hosszának fele.

Most a szakasz felezőpontja O(-1,0), mert a koordinátáit az eredeti pontok koordinátáinak a számtani közepe adja.

A szakasz hossza pedig gyök(180)=2*gyök(45). Tehát a Thales-kör sugara gyök(45).

Tudjuk azt is, hogy az (u,v) középpontú r sugarú kör egyenlete

(x-u)^2+(y-v)^2=r^2.

Ebbe behelyettesítve az eddig kapottakat:

(x+1)^2+y^2=45.