Hogy oldjam meg, mi lesz az eredménye az alábbi matek feladatoknak? Témakör: Geometriai alapismeretek

1) Megfordítás: ha egy négyszög paralelogramma, akkor trapéz. Ez igaz, mivel a paralelogramma definíciója: a két-két szemközti oldala párhuzamos és egyenlő hosszú, trapéz: van 1 pár párhuzamos oldala. Mivel a paralelogrammának van 1 pár páthuzamos oldala, ezért trapéz is. Az eredeti állítás persze nem igaz, mivel a trapéznak nem feltétlenül van 2 pár párhuzamos oldala és/vagy azok nem egyenlő hosszúak.

2) Ha valaminek az arányával akarunk számolni, először mindig összeadjuk az arányokat: 3+5+5+11=24. Tudjuk, hogy tetszőleges négyszög belső szögeinek összege 360°, ezt elosztjuk 24-gyel: 360°:24=15°, ezt visszaszorozzuk az arányokkal:

3*15°=45°

5*15°=75°

5*15°=75°

11*15°=165°

Ha ezeket összeadod, visszajön a 360°, ha nem, valamit elszámoltál.

b) Tudjuk, hogy a szimmetria átló derékszöget zár be a másik átlóval, és felezi azokat a szögeket, amiken átmegy. Ha behúzzuk az átlókat, akkor 4 derékszögű háromszöget kapunk, ahol az egyik háromszögben az egyik szög (amit elfeleztünk) 22,5°, a háromszögben a belső szögek összege 180°, ezért a harmadik szög: 180°-90°-22,5°=67,5°, ekkora szöget zár be az átló az egyik oldallal, a másik oldallal 75°-67,5°=7,5°-os szöget.

3) Szabályos sokszög: olyan sokszög, amiben minden oldal ugyanolyan hosszú, és minden oldal ugyanakkora szöget zár be, például szabályos háromszög az egyenlő oldalú háromszög (de szabályos háromszögnek is szokták nevezni), szabályos négyszög a négyzet, ezek után szabályos öt-, hat, ..., n-szögnek szokták hívni.

4) Ki kell számolnunk, hogy melyik ez a sokszög. Tegyük fel, hogy ez egy szabályos sokszög, ekkor minden szöge ugyanakkora. Húzzunk szakaszokat a csúcsokból a forgásközéppontba úgy, hogy egyenlő szárú háromszögeket kapjunk. Ha az eredeti sokszög egy szögének nagysága x volt, akkor a háromszögben az alapokon x/2 szög fekszik, összesen x/2+x/2=x, mivel a háromszög belső szögeinek összege 180°, ezért a harmadik szög 180°-x nagyságú. Ha ez a sokszög egy n-szög, akkor igaz, hogy:

-I. x*n=1980°, és

-II.(180°-x)*n=360° (mivel a belső szögek egy kört adnak ki)

Meg kell oldanunk ezt a kétismeretlnes egyenletrendszert, I.-ből: x=1980°/n, ezt behelyettesítjük II.-be x helyére:

(180°-(1968/n))*n=360°, zárójelbontás:

180°*n-1980°=360°, hozzáadunk 1980-at:

180°*n=2340°, osztunk 180°-kal:

n=13

A feladat szempontjából érdektelen x értéke, persze innen már az is kiszámolható (ha 152 körüli érték jött ki, akkor jó). Mivel tetszőleges (konvex) 13-szög esetén a belső szögek összege 1980°, ezért egyszerűsíthettük a feladatot. Hány átlója van egy n-szögnek? Kiválasztjuk valamelyik csúcsot, ebből n-3 átló indulhat ki, mivel a kiválasztott csúcsból a két szomszédjába és önmagába nem megy átló. Mivel n csúcsunk van és ezt mindegyik csúccsal el tudjuk végezni, ezért n(n-3) átlót számolhatunk meg, de mivel minden átlót így kétszer számoltunk meg (a két végpontján), ezért osztunk 2-vel, tehát n>=3 esetén n(n-3)/2 átló van. 13 csúcs esetén: 13*(13-3)/2=13*10/2=13*5=65 átló van.

5) A kör belső szöge 360°, valahanyad körnél egyenes arányosság lép vel:

-félkörnél 360°/2=180°-os,

-hatodkörnél 360°/6=60-os a központi szög.

Remélem érthető minden :)