Relációk szorzata. Mi a megoldása az alábbi halmazos feladatoknak?

bocsi de ez már a középiskolai tanulmányaimat meghaladja.

inkább küldök hozzá egy pdf-t

[link]

A reláció valójában egy megfeleltetés a két halmaz elemei között. Az irány is fontos, hisz nem mindegy, hogy 1<2 vagy 2<1. Vagyis egyetlen relációelemet fel lehet írni úgy, mint egy rendezett párt. Az összeset meg úgy, mint ezeknek a rendezett pároknak a halmaza. Amik relációban vannak, azok a párok a részei a halmaznak.

Pl. ρ₁ három ilyen párt tartalmaz, mert az adott reláció csak ezek között teljesül. Adott esetben ez a ρ₁ mondjuk lehet, hogy éppen a '<' (kisebb) reláció, hisz az tényleg csak 1<3, 2<3 és 1<2 esetén teljesül az A és B halmaz között. De nem kell mindig belegondolni ilyenbe, absztraktabban érdemes gondolkodni.

A két halmaz összes lehetséges párja az a két halmaz keresztszorzata (Descartes szorzata): A×B. Ebből csak az a részhalmaz érdekes, ami rendezett párokra teljesül a reláció, tehát a reláció egy részhalmaz: ρ ⊆ A×B

Egy reláció inverze: Egyszerűen a fordított irányú megfeleltetések lesznek azok. Persze ha ρ ⊆ A×B, akkor ρ⁻¹ ⊆ B×A lesz.

Például a "kisebb" reláció inverze a "nagyobb" reláció (nem a nagyobb-egyenlő). Most pl. a ρ₁-re:

ρ₁: 1<3, 2<3, 1<2

ρ₁⁻¹: 3>1, 3>2, 2>1

Két reláció szorzata: ez egyszerűen az egymás utáni alkalmazása a relációknak. Szóval ρ₁·ρ₂ egy olyan reláció, aminek ha egy párja (a,b), vagyis ha "a ρ₁ρ₂ b", akkor "a ρ₁ c" és "c ρ₂ b" is teljesül valamilyen c-vel.

Pl. ha ρ₁ a "kisebb", ρ₂ meg a "duplája" relációk, akkor "1<5" és "5 duplája 10" miatt "1 <duplája 10" is OK, de mondjuk "1 <duplája 9" már nem mert nincs egyetlen egy n egész szám sem, amire az "n duplája 9" reláció igaz lenne.

---

A megoldások:

ρ₁ inverze már volt fentebb, csak írd fel őket halmaz formában.

ρ₁·ρ₂:

 ρ₁(1,3) és ρ₂(3,1) miatt ρ₁ρ₂(1,1) része lesz

 ρ₁(1,3) és ρ₂(3,4) miatt ρ₁ρ₂(1,4) is része lesz

... stb, folytasd

ρ₂·ρ₁:

 ρ₂(3,1) és ρ₁(1,3) miatt ρ₂ρ₁(3,3) része lesz

... folytasd

(Persze nem kell szöveggel ezeket leírni, csak a végeredmény halmazt)