Koordinátageometria egy kis segítség?

Egyenes és pont távolsága:

Ax + By + C = 0

P(x₀;y₀)

legyenek:

a = A/√(A²+B²)

b = B/√(A²+B²)

c = C/√(A²+B²)

Ezekkel a²+b² = 1

ax + by + c = 0       ez az egyenes egyenletének a normálalakja egyébként.

Az egyenes normálvektora (a;b)

A merőleges egyenes normálvektora: (-b;a)

A P ponton átmenő merőleges egyenes egyenlete:

   -bx + ay = -bx₀ + ay₀

Ennek a metszéspontja az eredeti egyenessel: meg kell oldani az egyenletrendszert.

    abx + b²y + cb = 0

   -abx + a²y = -abx₀ + a²y₀

összegük:

(a²+b²)y + cb = a²y₀ - abx₀

y = a²y₀ - abx₀ - bc

Visszahelyettesítve:

ax + b(a²y₀ - abx₀ - bc) + c = 0

x + aby₀ - b²x₀ = (b²-1)c/a = -a²·c/a

x = b²x₀ - aby₀ - ac

Az (x;y) pont és a P pont távolsága: d = √((x-x₀)²+(y-y₀)²)

d² = (b²x₀ - aby₀ - ac - x₀)² + (a²y₀ - abx₀ - bc - y₀)²

= (-a²x₀ - aby₀ - ac)² + (-b²y₀ - abx₀ - bc)²

= a²(ax₀+by₀+c)² + b²(ax₀ + by₀ + c)²

= (a²+b²)(ax₀+by₀+c)² = (ax₀+by₀+c)²

d = |ax₀+by₀+c|

Visszahelyettesítve az eredeti A,B,C-t pont az ottani képletet kapjuk.