Határérték-számítás: kérdés a határérték bizonyításról?

Levezetem:

lim 1/n = 0

n→∞

|1/n| < ε

Mivel n pozitív, elhagyhatjuk az abszolút értéket:

1/n < ε

szorozzunk be n-nel (pozitív, marad az egyenlőtlenség iránya):

1 < ε·n

Osszunk ε-nal (pozitív, marad az egyenlőtlenség iránya):

1/ε < n

Kész.

Ez azt jelenti szavakkal, hogy megtaláltuk azt az ε-tól függő N számot, aminél nagyobb elemei a sorozatnak tényleg a nullának az ε sugarú környezetén belül vannak. Ez a küszöb: N = 1/ε. Szóval n>N esetén lesz |1/n|<ε.

Mivel az n most mindig pozitív, ezért nem kell a jobb oldali levezetés. Ha viszont általánosabban gondolkodsz és ragaszkodsz hozzá, akkor a nyílakra oda kell azt is írni, hogy "n>0 esetén" illetve "n<0 esetén", és komolyan is kell venni az előjeleket. Ezért a végén azt kapod, hogy 1/ε-nál nagyobb pozitív n-ek, és -1/ε-nál kisebb negatív n-ek a megoldás. Ez pedig nem egy összefüggő intervallum a számegyenesen, nem írhatod fel egy közös relációba, csak két reláció uniójaként:

n > 1/ε ∪ n < -1/ε