Mi lesz a megoldása a z^2 = i/ (1-i) egyenletnek a komplex számok halmazán?

Kicsit elszámoltad:

a²-b²+2abi = (i-1)/2

2a²-2b² + 4abi = -1 + i

Vagyis:

2a²-2b² = -1

4ab = 1

---

2a² - 2/(4a)² + 1 = 0

16(a²)² + 8(a²) - 1 = 0

Ez a²-ben másodfokú, vagyis a megoldóképlettel a² -re jön ki megoldás:

a² = (-8 ±√(64+64))/32

a² = (-8±8√2)/32

a² = (√2-1)/4 vagy a² = (-√2-1)/4

Negatív nem lehet, mert a (és b is) valós. Vagyis a = ±√(√2-1)/2 a megoldás csak.

b = 1/(4a) = ... nem számolom ki

--

Viszont nem így szoktuk kiszámolni! Tanultátok már a komplex számok trigonometrikus alakját?

z² = (i-1)/2

trigonometrikus alakban:

z² = (1/√2)·(cos 135° + i·sin 135°)

Érted, hogy ez hogyan jön ki?

Gyököt vonni ilyenből sokkal egyszerűbb: a hosszból simán gyököt kell vonni, a szög meg feleződik.

z = 1/√(√2) ·(cos 67,5° + i·sin 67,5°)

Annyi csavar van benne, hogy az eredeti komplex szám nem csak 135°-kal, hanem 360°-kal több, vagyis 495°-kal is felírható, úgy is ugyanaz. Viszont gyökvonáskor (felezéskor) abból más jön ki:

z = 1/√(√2)·(cos 247,5° + i·sin 247,5°)

Ez is megoldás.

A többi 360° hozzáadása már ugyanezeket az értékeket adja (illetve 360°-okkal nagyobbat, de az ugyanez), tehát nincs több megoldás.

Egyszerűen ezt akartam válaszolni:

[link]

Biztonság kedvéért a wolframon is megnéztem:

[link]

Ő is ezt írja, cifrázva.

#2: Persze, formailag ez is eredmény, de ennél okosabbat várnak el a suliban.

Az a helyzet, hogy a wolfram-on csodálkozom. Azt hittem volna, hogy ki tudja hozni a rendes algebrai alakot is...

A 315° nem jó.

Rajzold fel a komplex számot a koordinátarendszerben. A valós része -1/2, vagyis az origótól balra van. A képzetes része (az i együtthatója) +1/2, vagyis felfelé van. A két szám abszolút értéke megegyezik, tehát a saját síknegyedében 45 fokos szögben megy a vektor, ez pedig a második síknegyedben 135°-ot jelent.

315 fokhoz a negyedik síknegyed kellene, de nem ott van a vektor.