Komplex számokkal kapcsolatos feladatok?

1.

Legyen z = a+b·i

z² = a² + 2ab·i - b²

|z| = √(a²+b²)

z² - |z|² = -2b² + 2ab·i

ez kell egyezzen -2 + 2i-vel. Vagyis:

-2 = -2b² → |b| = 1

2ab·i = 2i → ab = 1

Vagyis a megoldás a=b=1, vagy a=b=-1

z = 1+i vagy z=-1-i

2.a.

(√3-i)² = 3-2√3·i-1 = 2-2√3·i

(2-2√3·i)² = 4 - 8√3·i - 12 = -8-8√3·i = -8·(1+√3·i)

cos45°+i·sin45° abszolút értéke 1, tehát ennek a hatványai egyszerűen forgatják a komplex síkon a φ=45° fokos vektort. Lesz belőle 13·45°. Mivel 8·45° = 360°, ezért a hatványból ez lett:

cos 225° + i·sin 225° = √2/2·(-1-i) = -√2/2·(1+i)

A kettő szorzata pedig 4√2·(1+(√3+1)i-√3) = 4√2((1-√3) + (1+√3)i)

2.b.

Legyen z=a+b·i

komplex konjugáltja a-b·i

a kettő különbsége 2b·i

Ennek csak imaginárius része van, az 2b, vagyis b=1

Vagyis a komplex számok halmaza ez: z=a+i, a∈ℝ

Ez a komplex síkon egy vízszintes vonal 1 magasan.

3.

a)

|z-1| = |z+1|

legyen z = a + bi

|a-1 + bi| = |a+1 + bi|

az abszolút érték (hossz) négyzete:

(a-1)² + b² = (a+1)² + b²

a²-2a+1 = a²+2a+1

a = 0

Vagyis az összes olyan komplex szám, aminek a valós része 0. A komplex síkon ez a függőleges tengely, azt kell ábrázolni.

b1)

z³ = 27i

Érdemes átalakítani trigonometrikus alakra:

z³ = 27(cos 90° + i·sin 90°)

A köbgyöknek 3 megoldása van:

z = ∛27·(cos((90+k·360)/3) + i·sin((90+k·360)/3))

vagyis φ₁=30°, φ₂=150°, φ₃=270°

∛27 = 3

Valószínű vissza kell alakítani algebrai alakra, azt rád bízom.

b2)

(z+1)² = 2(z-1)

z² + 2z + 1 = 2z - 1

z² = -2

Most is át kell alakítani trigonometrikusba:

z² = 2·(cos 180° + i·sin 180°)

Folytassad...

c1)

z + z* = 2

(nem lehet itt könnyen felülvonást csinálni, ezért *-gal jelöltem a konjugáltat)

Legyen z = a + b·i

A konjugáltja: z* = a - b·i

Ezek összege: 2a

Egy szám plusz a konjugáltja mindig valós!

2a = 2

a = 1

b-ről nem tudtunk meg semmit, tehát b bármi lehet. Tehát mindegyik z olyan komplex szám, aminek a valós része 1, a képzetes bármi. Ha ábrázolod, az 1-nél lesz egy függőleges vonal.

c2)

|z+i| ≤ 3

Legyen z=a+b·i

|a+(b+1)i| ≤ 3

√(a² + (b+1)²) ≤ 3

a² + (b+1)² ≤ 3²

Ezzel ennyit lehet csinálni, most pedig vissza kell emlékezni arra, amit koordináta-geometriából tanultatok a kör egyenletéről:

(x-x₀)² + (y-y₀)² = r²

Ez az (x₀,y₀) középpontú, r sugarú kör egyenlete. Ami nekünk van, az ehhez nagyon hasonló. Az egyenlő helyett a kisebb-egyenlő az jelenti, hogy a kör belseje.

Vagyis a (0, -1) vagyis 0-i pont körüli 3 sugarú körlapról van szó.