Mi a megoldása a komplex számok halmazán: 2x^3+x^2-12x+9=0 egyenletnek?

Szemmel láthatóan x=1 megoldás, mert 2+1-12+9=0.

Tehát az (x-1) tényezőt ki lehet emelni a polinomból:

2x^3+x^2-12x+9=(x-1)(2x^2+3x-9)

A 2x^2+3x-9=0 másodfokú egyenletet pedig nem túl nehéz as szokásos módon megoldani, a gyökei: 1.5 és -3.

Tehát a megoldások x=1;1.5;-3

Tanultátok a Cardano képletet? Ha igen, lehet, hogy azzal várja a feladat a megoldást, és akkor már érdekesek lennének a komplex számok is:

Ha nem látszódna kapásból, hogy az x=1 megoldás, akkor a Cardano képlettel kellene dolgozni. Az a furcsa eset állna fenn, hogy a megoldás részeredménye két valódi komplex szám lenne, amik összege (az x) viszont már valós lesz mert az imaginárius tagok kiejtik egymást. Ez volt az a fura dolog, ami miatt sokáig nem tudták a harmadfokúakat általánosan megoldani, mert komplex számok nélkül nem megy a dolog.

Lehet, hogy ezt kellene csinálnod? Ha igen, szólj, levezetem.

Hmm, nem lesz könnyű... Milyen szakon tanulsz? Ha nem valami matematikus, akkor kétlem, hogy ilyet kellene csinálnod. Szóval ha csak nem pont ez kell, használd a másik válaszoló módszerét, vagyis "találd ki", hogy mi lehet az egyik gyök, hátha valamilyen kis egész szám az...

De azért a Cardano:

A polinomot először is át kell írni x³+px+q alakba, vagyis meg kell szabadulni a négyzetes tagtól:

2x³+x²-12x+9

felezzük meg, az is ugyanott lesz nulla

x³+x²/2-6x+9/2

az eleje olyan, mint (x+1/6)³ eleje

((x+1/6)³- 3/6² x - 1/6³)-6x+9/2

(x+1/6)³- (3/6² + 6)x - 1/6³ +9/2

Az x-ből is csináljunk (x+1/6)-ot:

(x+1/6)³- (3/6² + 6)(x+1/6) + (3/6³+1) - 1/6³ +9/2

(x+1/6)³- (3/6²+6)(x+1/6) + (2/6³+11/2)

Átnevezések:

y=x+1/6

p=-(3/6²+6)

q=(2/6³+11/2)

Ezekkel tényleg ilyen alakú lesz:

y³+py+q=0

Az ilyen alakú harmadfokúakra a Cardano formula:

y = ³√(-q/2 + √((q/2)²+(p/3)³)) + ³√(-q/2 - √((q/2)²+(p/3)³) )

Nézzük a négyzetgyök alatti (q/2)²+(p/3)³ részt. Ha a fenti számokkal gondosan végigszámolod (jó nagy számok lesznek benne) az jön ki, hogy -3/4. Vagyis a négyzetgyök értéke √3/2·i

y értéke pedig:

y = ³√(-q/2 + √3/2·i) + ³√(-q/2 - √3/2·i)

y = ³√(-595/6³ + √3/2·i) + ³√(-595/6³ - √3/2·i)

y = 1/6·(³√(-595 + 6³·√3/2·i) + ³√(-595 - 6³·√3/2·i))

A köbgyök alatti részek:

-595 + 108·√3·i

illetve a konjugáltja.

Itt van a gond, ebből kellene köbgyököt vonni, de erre tudtommal nincs bevett módszer ((a-bi)³-ből kiindulva egyenletrendszer megoldással megint csak harmadfokú egyenlet jön ki, úgyhogy ugyanott lennénk). Persze van a trigonometrikus (cos α + i·sin α) komplex alakból való gyökvonás, de azzal kerekítési hibák lesznek. Úgyhogy ha gyanúja van az embernek, hogy ki kell jönnie "szép" alakban is az eredménynek, akkor találgatnia kell. (E miatt ez a módszer sem egyszerűbb, sőt, bonyolultabb, mint eleve kitalálni, hogy melyik lehet az egyik gyök.)

Ennek a fentinek pl. a köbgyöke:

³√(-595 + 108·√3·i) = 5+4·√3·i

Van valakinek ötlete, hogy erre hogyan lehet szisztematikusan rájönni? Én a WolframAlpha-t hívtam segítségül:

[link]

Ez persze csak az egyike a lehetséges 3 gyöknek!

A konjugált köbgyöke hasonló eredményt fog adni:

³√(-595 - 108·√3·i) = 5-4·√3·i

És akkor y:

y = 1/6·(5+4·√3·i + 5-4·√3·i) = 10/6

Itt volt az érdekesség, hogy a két komplex szám összege valós lett!

x pedig ennél 1/6-dal kevesebb:

x = 3/2

A másik két komplex köbgyököt is ha kiszámolja az ember, kijön x-re a többi megoldás, vagy tehetjük azt is, hogy elosztjuk az eredeti polinomot (x-3/2)-del, az így másodfokú lesz, és azt könnyű megoldani.

Mindhárom köbgyök érték egyébként:

³√(-595 + 108·√3·i):

5 + 4·√3·i

7/2 - 9·√3/2·i

-17/2 + √3/2·i

Jó bonyolult volt. Az az érzésem, hogy nem ezt a megoldást várják tőled, de azért remélem, hogy értékeled, hogy végigküszködtem :)