Ennek az egyenletnek mi a megoldása?

(x-2)^4 - 5(x-2)^2 +4=0

Irjuk szorzatta:

((x-2)^2 - 1)((x-2)^2 -4) = 0

(x-2-1)(x-2+1)(x-2-2)(x-2+2) = 0

(x-3)(x-1)(x-4)x = 0

Tehat a gyokok:

x=3

x=1

x=4

x=0

új változó: y:=(x-2)^2 és erre a másodfokúra lehet visszavezetni:

y^2-5y+4=0

y-ra kapsz két megoldást és ezeket visszarakod az y:=(x-2)^2 egyenletbe, ahonnan kijön x-re négy féle megoldás.

[a megoldások: x=0 x=1 x=3 x=4]

Ahogy a második mondja, úgy a legegyszerűbb.

Legyen a=(x-2)^2

Megoldod az így kapott egyenletet a-ra, majd a kapott megoldásokat visszahelyettesíted, ugyanazt kapod.

Akkor kozfelkialtasra csinaljuk ugy, ahogy a masodik valaszolo irta:

új változó: y:=(x-2)^2 és erre a másodfokúra lehet visszavezetni:

y^2-5y+4=0

ezt akarjuk szorzatta irni ilyen formaban:

(y-a)(y-b)=0

Ez azert lesz jo, mert egy szorzat akkor 0, ha valamelyik tagja 0,

tehat vagy 7=a vagy y=b.

(y-a)(y-b) = y(y-b) - a(y-b) = y^2 - by - ay + ab

y^2 -(a+b)y + ab = 0

y^2 - 5y + 4 = 0

Tehat olyan a es b szamokat keresunk, amelyre:

a+b = 5

es ab = 4

Hat ilyen pl a=1, b=4

szoval a szorzatta iras ez lesz:

(y-1)(y-4) = 0

tehat y = 1

vagy y = 4

na most akkor helyettesitsuk vissza mi volt az y

(x-2)^2 = 1

vagy

(x-2)^2 = 4

vagyis

x-2 = 1

vagy

x-2 = -1

vagy

x-2 = 2

vagy

x-2 = -2

Tehat a vegeredmeny:

x=3, x=1, x=4, x=0 mindegyike megoldasa az egyenletnek.