Hogyan kell megoldani az alábbi trigonometrikus egyenlőtlenséget?

Először meg kell oldani egyenlőségként.

cos(2x) = sin(x)

tudjuk, hogy sin(x) = cos(x-π/2):

cos(2x) = cos(x-π/2)

Ennek két megoldása van:

a) [ cos(α) = cos(α) eset (+2kπ) ]

2x = x-π/2 + 2kπ

x = -π/2 + 2kπ

b) [ cos(α) = cos(-α) eset (+2kπ) ]

2x = π/2-x + 2kπ

3x = π/2 + 2kπ

x = π/6 + 2kπ/3

Ha ezt k=-1 esetén nézzük, ez jön ki:

x = π/6 - 2π/3 = π/6 - 4π/6 = -3π/6 = -π/2

Ez pont az a) megoldás, pontosabban a k=3n-1 értékek adják az a) mindegyik periódusát.

Vagyis valójában ez a három eset van 2π hosszú periódussal: (csak a végeredményt írom, direktben kijönnek)

(1) k = 3n esetén: x = π/6 + 2nπ

(2) k = 3n+1 esetén: x = 5π/6 + 2nπ

(3) k = 3n+2 esetén: x = 9π/6 + 2nπ

--

Most jön az egyenlőtlenség.

Érdemes felrajzolni az eredeti cos 2x valamint sinx függvényeket. Pl ez az:

[link]

Vedd észre, hogy a (3)-as metszéspont, vagyis 9π/6 az éppen 1,5·π, ott van a sinx-nek a lokális minimuma, és a cos2x-nek is!

Most már pontosan tudjuk az egyenlőség megoldásából, hogy hol metszik egymást a függvények (hol van az (1), (2) és (3) pont), a rajzból meg látszik, hogy melyik intervallumokon nagyobb a cos2x a sinx-nél, ebből fel tudjuk írni a megoldást: a (2) és az (1)+2π pontok között (ott van közben a (2) pont is, ahol egyenlőség áll fenn, és annak mindkét oldalán a nagyobb az igaz.)

5π/6 + 2kπ ≤ x ≤ π/6 + 2π + 2kπ