Logaritmus egyenlet? Hogyan folytassam?

Kikötéssel kell kezdeni, x>0.

4*log_9x 3=log_9x 3^4=log_9x 81

A 3x-re való áttérés nem igazán segít. Úgyhogy próbáljuk meg 3-as alapú logaritmusra áttérni.

log_3x 3 = log_3 3 / log_3 3x = 1/(log_3 3+log_3 x)= 1/(1+log_3 x)

illetve

log_9x 81= log_3 81 / log_3 9x = 4/(log_3 9+log_3 x)=

4/(2+log_3 x)

A=log_3 x helyettesítéssel az egyenlet úgy néz ki, hogy

1/(1+A)+4/(2+A)=6

Ez egy sima egyenlet, egy ismeretlennel, nem okoz gondot a megoldása.

1/(1+A)+4/(2+A)=6 /*(1+A)(2+A)

(2+A)+4*(1+A)=6*(1+A)(2+A)

5A+6=6A^2+18A+12

0=6A^2+13A+6

Megoldóképlettel kijön, hogy

A=-2/3 vagy A=-3/2

lássuk, melyik lehet jó megoldás:

-2/3=log_3 x

Ebből x=3^(-2/3) --> (vagyis köbgyök 1/9), kb 0,48

Illetve

-3/2=log_3 x

x=3^(-3/2) --> (vagyis gyök 1/27), kb 0,19

Ellenőrizni kell, excelbe beütöttem:

mindkét megoldás jó.

D=b^2-4*a*c

D=13*13-4*6*6=25 -->gyökvonás után 5 marad.

x1=(-13+5)/(2*6)=-8/12=-2/3

x2=(-13-5)/(2*6)=-18/12=-3/2