Matematika alap? Invertálhatóság.

[link]

Talán ez segít. Ez kirajzolja neked a függvényt és megad róla egy csomó információt.

1)

f/g = (1−x²)/√x

Df = {x∈ℝ : x>0}

fog = 1 − (√x)² = 1−x

Df = {x∈ℝ : x≥0}

[Itt fog = 1-x csak akkor jó megoldás, ha kikötjük azt is, hogy az értelmezési tartomány Df = {x∈ℝ : x≥0}]

gof = √(1−x²)

Df = {x∈ℝ : |x|≤1}

2)

f(x) = (x−3)/(3x+5)

Df = ℝ \ {−5/3}

Egy f függvény akkor invertálható, ha ∀x₁,x₂ ∈ Rf, f(x₁) = f(x₂) esetén x₁ = x₂

szavakkal:

Ha x₁-re és x₂-re egyforma a függvényérték, akkor x₁ = x₂ (vagyis egyetlen egy x esetén lesz y a függvényérték)

Most: f(x₁) = f(x₂):

(x₁−3)/(3x₁+5) = (x₂−3)/(3x₂+5)

(x₁−3)(3x₂+5) = (x₂−3)(3x₁+5)

3x₁x₂ - 9x₂ + 5x₁ - 15 = 3x₁x₂ - 9x₁ + 5x₂ - 15

-9x₂ + 5x₁ = -9x₁ + 5x₂

14x₁ = 14x₂

x₁ = x₂

Vagyis invertálható a függvény.

Az inverze:

y = (x−3)/(3x+5)

y(3x+5) = x-3

3xy + 5y = x - 3

5y + 3 = x - 3xy

5y + 3 = x(1 - 3y)

Ha 3y≠1, y≠1/3:

x = (5y+3)/(1-3y)

vagyis az inverz függvény

f^(-1)(x) = (5x+3)/(1-3x)

Df^(-1) = ℝ \ {1/3}

Egyébként Rf = Df^(-1) miatt Rf = ℝ \ {1/3}

illetve Rf^(-1) = ℝ \ {−5/3}