Mértani sorozatok. Következő az egyenletrendszer: a1+a2+a3=42 a2-a1=6 S4=?

a1 + a2 + a3 = 42

a2 - a1 = 6

a1(1 + q + q²) = 42

a1(q - 1) = 6

az elsőt osztva a másodikkal

(1 + q + q²)/(q - 1) = 7

(q - 1) beszorozva mindkét oldalt

1 + q + q² = 7(q - 1)

Zárójelfelbontás, összevonás után

q² - 6q + 8 = 0

Ennek az egyenletnek a gyökei adják a q értékeit

Ha ez megvan, akkor pl. az eredeti második egyenletből

a1(q - 1) = 6

a1 = 6/(q - 1)

Ezután minden tag számítható, így az S4 értéke is.

q-val jeloljuk a mertani sorozat kvocienset.

S4 = a1 + a2 + a3 + a4 = 42 + a4 = 42 + a4

a2-a1 = q*a1 - a1 = a1(q-1) = 6

a1+a2+a3 = a1(1+q+q^2) = 42

(6/(q-1))*(1+q+q^2) = 42

1+q+q^2 = 7(q-1)

q^2 - 6q +8 = 0

(q-4)(q-2) = 0

q=4 vagy q=2

Ha q=4, akkor a1= 2, a4=128, S4 = 42 + a4 = 42+128 = 170

Ha q=2, akkor a1 = 6, a4 = 48, S4 = 48+42 = 90