Két egyenes mikor párhuzamos, ill. mikor meroleges egymasra?

A két egyenes normálvektorának a skalárszorzata 0, ha merőlegesek. (Ugyanígy az irányvektorok szorzata is 0.)

Az egyik egyenes normálvektora és a másik irányvektorának a skalárszorzata 0, ha párhuzamosak.

Átrendezem kicsit az egyenes egyenleteket

2x + y = 3

ax - y = 1

Amikor így vannak felírva, akkor lehet gyorsan leolvasni a normálvektorukat, hisz egyszerűen az x és y együtthatói azok. Az elsőé (2, 1) a másodiké (a, -1).

A skalárszorzat ugye tudod hogyan megy? pl. (a,b) és (c,d) szorzata ac+bd. Szóval az első koordinátákat össze kell szorozni és hozzáadni a második koordináták szorzatát.

Amikor merőlegesek, akkor a vektorok skalárszorzata 0. Vagyis:

2·a + 1·(-1) = 0

a = 1/2

A párhuzamossághoz az egyiket el kell forgatni 90 fokkal (ezzel kapjuk meg az irányvektort). Azt pedig úgy kell, hogy a vektor két koordinátáját megcseréled, és az egyiknek veszed a minusz egyszeresét.

Mondjuk az (a,-1) vektor 90 fokkal elforgatva (1,a) lesz.

Az egyenesek akkor párhuzamosak, ha (2,1) és (1,a) skalárszorzata 0:

2·1 + 1·a = 0

a = -2

"fú nekem ehez kellenek példák, segítesz?

y=-2x+3

y=ax-1 "

Merőlegesség-párhuzamosságot legalább 5 féle módon meg lehet nézni.

Ha így van megadva az egyenlet, hogy

y=mx+b

ahol m a meredekség, akkor 2 egyenes párhuzamos, ha a meredekségeik megegyeznek.

Vagyis y=-2x-1 lesz párhuzamos az eredetivel.

És merőleges, ha a meredekségek szorzata -1.

Vagyis ha az egyik m, akkor a másik -1/m

Tehát a merőleges egyenes y=1/2m-1

Ha nem olyan alakban van megadva, hogy y=mx+b

hanem ax+by+c=0

Akkor is át lehet rendezni y-ra és lehet használni ezt a szabályt. A párhuzamosságra-merőlegességre.

Számomra ez egyszerűbb, mint skalárszorzatot számolni :)