Valaki segítene megoldani az egyenletrendszert?

Vegyük a logaritmusokat.

(x+y)*lg x=3*lg y

(x+y)*lg y=12*lg x

lg x=0, akkor x=1

Behelyettesítve

1=y^3

Amiből y=1

(1,1) megoldás.

Ha x nem 1. Akkor az első egyenletből (x+y)=3*lg y/lg x

Beírva a 2-ba

3*lg y/lg x*lg y=12*lg x

lg^2 y=4*lg^2 x

Ebből

lg y=2 lg x VAGY

lg y=-2 lg x

y=x^2 VAGY y=1/x^2

Nézzük az első esetet.

x^(x+x^2)=x^6

Ezt kéne megoldani.

Egyrészt lehet, hogy a kitevők egyeznek meg: x+x^2=6

x^2+x-6=0

x=2 vagy x=-3 Utóbbi nem jó, mert

y=4 vagy y=9

Érdemes visszaírni az eredetibe.

Ezek is jó megoldások. Vagyis most 3-nál tartunk.

De még lehetnek más megoldások is az alábbinál:

x^(x+x^2)=x^6

Ha a kitevő nem egyenlő, akkor valami trükkös alap kell.

Ami -1, 0, 1 lehet. 1-et már megnéztük.

x=0

0^0=0^6

Hát ez trükkös. 0^0 azt hiszem nincs értelmezve.

Szóval ez nem jó.

(-1)^(-1+1)=(-1)^6

(-1)^0=(-1)^6

Ez is stimmel.

De azért helyettesítsük vissza az eredetibe.

(-1)^0=1^3

1^0=(-1)^12

(-1)^0 engem kicsit zavar. Ezért kérdeztem rá az értelmezési tartományra, ha csak nemnegatív számok lehetnének az sokat könnyíteni a dolgon.

De én ezt megoldásnak tartom. Úgyhogy (-1,1) a 4. megoldás.

Még meg kell nézni, amikor y=1/x^2, beírva az eredeti egyenletekbe:

x^(x+1/x^2)=x^(-6)

ugyanazt az utat bejárva

(x+1/x^2)=-6 -ot nézzük meg először.

Sajnos harmadfokú

De a számítógép azért megoldja x=-6,02752

A hozzá tartozó y=1/x^2=0,0275

Behelyettesítve az elsőbe:

-6,03^(-6,03+0,0275)

Na ez nem jó, mert negatív szám negatív hatványon nem állhat.

Úgyhogy ebben az esetben már csak az egyéb megoldásokat kell megnézni.

x^(x+1/x^2)=x^(-6)

x=0 nem jó

x=-1 még jó lehet.

(-1)^(-1+y)=y^4

y^(-1+y)=1

y=1 jó lenne, de az már volt.

más megoldás nincs.

Vagyis mindent végignézve az alábbi 4 megoldást találtam:

(1,1)

(2,4)

(-3,9)

(-1,1)