Segítsééég?! Adott egy kör középpontja, és egy egyenes egyenlete?

A kor egyenlete:

(x-6)^2 + (y-7)^2 = r^2

az egyetlen dolog amit nem tudunk az r.

Egy lehetseges megoldas az, ha az egyenes egyenletebol kifejezed x-et, behelyettesited a kor egyenletebe,

megoldod a kapott masodfoku egyenletet y-ra,

es megnezed milyen r eseten kapsz csak 1 megoldast,

ha 0 megoldast kapnal, az nem jo, mert nincs kozos pont,

ha 2 megoldast kapnal az megint nem jo, mert akkor az egyens belemetsz a korbe, ezert kell azt az r parametert kivalasztani mert az erintovel a kornek csak egy kozos pontja van.

Az igy kapott r erteket visszahelyettesited a kor egyenletebe.

A kor egyenlete:

(x-6)^2 + (y-7)^2 = r^2

egy masik megoldas a problemara az, ha azt hasznalod ki, hogy az erintesi pont az eygenesnek a legkozelebbi pontja a kor kozeppontjahoz. Ez azt jelenti, hogy a tavolsaganak a negyzete is itt a legkisebb.

Az egyenes egy P pontja mondjuk az x=t pont folott:

(t, (5t-24)/12) = (t, 5t/12 -2)

Ennek tavolsag negyzete a (6,7) ponttol:

(6-t)^2 +(9 - 5t/12)^2 = t^2 - 12t + 36 + 25t^2/144 -45t/6 + 81 = 169t^2/144 - 117t/6 +117

Ennek a minimuma a (117/6)/(2*169/144) -nel van,

ami t=108/13

vagyis a tavolsag negyzete

r^2= (6-(108/13))^2 +(5-5*(108/13)/12)^2 = 36

A kor egyenlete:

(x-6)^2 + (y-7)^2 = 36

Kozvetlenul szamolva a pont es egyenes tavolsaganak a kepletevel, ha ismered:

(m,n) pont tavolsaganak a negyzete az Ax+By+C=0 egynestol:

(Am+Bn+C)^2 / (A^2 + B^2)

r^2 = (5*6-12*7-24)^2 / (25+144) = 36