Ez hogyan oldható meg? F (x) =x3/ (x+4)

a)

x → -∞:

Alakítsuk át a függvényt kicsit:

G(x) = x²/(1+4/x)

Ez x=0-át kivéve ugyanúgy viselkedik, mint F(x), de x=0 most nem érdekes nekünk.

G(x) számlálója (x²) +∞-hez tart, nevezője 1-hez tart (mert 4/x 0-hoz), tehát lim G(x) = +∞

x → -4-0: (tehát balról -4): F(x) számlálója -64, a nevező pedig tart -0-hoz, tehát negatív. Két negatív hányadosa pozitív, tehát F(x) +∞-hez tart

x → -4+0: (tehát jobbról -4): F(x) számlálója -64, a nevező pedig tart +0-hoz, tehát pozitív. Negatív per pozitív az negatív, tehát F(x) -∞-hez tart

b)

Bizonyára tanultatok már deriválni. F(x) deriváltja:

F'(x) = (3x²·(x+4) - x³)/(x+4)²

= (2x²+12)/(x+4)²

= 2x²(x+6)/(x+4)²

Vagyis x=-6-nál, ami a vizsgált intervallumba esik, a derivált 0.

x < -6 esetén F'(x) negatív (nézd meg mondjuk x=-7-et), x > -6 esetén pozitív (nézd mondjuk x=-5-öt), vagyis -6-ban lokális minimuma van F(x)-nek.

Tehát azt látjuk, hogy a [-8;-5] intervallumba esik az F(x) lokális minimuma. Vagyis a függvény legkisebb értéke itt F(-6) = 108

A legnagyobb érték az intervallum valamelyik szélén lesz, mert -6-tól balra a függvény szigorúan monoton csökken (hisz a derivált ott negatív), -6 és -4 között pedig szintén szig. monoton nől (a derivált ott pozitív).

F(-8) = ... számold ki

F(-5) = ... számold ki

Amelyik a nagyobb, az lesz a függvény legnagyobb értéke az intervallumban.

Ha esetleg komolyabban érdekel, hogy hogyan számoljuk a határértéket azokban az esetekben, amikor a függvény értéke a kérdéses pontban 0/0, ∞/∞, ∞*0:

http://www.gyakorikerdesek.hu/tudomanyok__alkalmazott-tudoma..